Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 19

Упражнение 442 к § 19

Задача 1

Условие (кратко)

а) Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби √(4 − √11)/√(4 + √11).

Решение

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{4 - \sqrt{11}}$ :

\dfrac{\sqrt{4 - \sqrt{11}}}{\sqrt{4 + \sqrt{11}}} = \dfrac{4 - \sqrt{11}}{\sqrt{(4 + \sqrt{11})(4 - \sqrt{11})}} = \dfrac{4 - \sqrt{11}}{\sqrt{16 - 11}} = \dfrac{4 - \sqrt{11}}{\sqrt{5}}.

Умножим ещё на $\sqrt{5}$ :

\dfrac{(4 - \sqrt{11})\sqrt{5}}{5} = \dfrac{4\sqrt{5} - \sqrt{55}}{5}.

Ответ

(4√5 − √55)/5

Почему так

Домножение на сопряжённый двойной радикал превращает знаменатель в √(16 − 11) = √5.

Условие (кратко)

б) Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби √(√5 + √3)/√(√5 − √3).

Решение

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ :

\dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5 - 3}} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}.

Ответ

√2(√5 + √3)/2

Почему так

Произведение (√5 − √3)(√5 + √3) = 2 убирает вложенные корни в знаменателе.

Условие (кратко)

в) Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби √(√5 − 2)/√(√5 + 2).

Решение

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{\sqrt{5} - 2}$ (это число определено: $\sqrt{5} > 2$ ):

\dfrac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)}} = \dfrac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5 - 4}} = \sqrt{5} - 2.

Ответ

√5 − 2

Почему так

Знаменатель после домножения равен √(5 − 4) = 1.