Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 19

Упражнение 444 к § 19

§ 19. Преобразование двойных радикалов · тема: Преобразование двойных радикалов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что верно равенство √(10 + √24 + √40 + √60) = √2 + √3 + √5.

Решение

Правая часть положительна. Возведём её в квадрат:

(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = 2 + 3 + 5 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}.

Так как $2\sqrt{6} = \sqrt{24}$ , $2\sqrt{10} = \sqrt{40}$ , $2\sqrt{15} = \sqrt{60}$ , получаем $10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}$ .

Значит, $\sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} = |\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}| = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$ .

Ответ

Равенство верно

Почему так

Неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению, и есть значение корня.

Подробнее — в теме «Преобразование двойных радикалов».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать, что верно равенство √(9 + √12 − √20 − √60) = 1 + √3 − √5.

Решение

Сначала проверим знак правой части: $1 + \sqrt{3} > 1 + 1{,}7 = 2{,}7$ , а $\sqrt{5} < 2{,}3$ , значит, $1 + \sqrt{3} - \sqrt{5} > 0$ . (Строго: $(1 + \sqrt{3})^2 = 4 + 2\sqrt{3} > 5$ .)

(1 + \sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = 1 + 3 + 5 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{15} = 9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60}.

Правая часть неотрицательна и её квадрат равен подкоренному выражению, поэтому равенство верно.