Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 19

Упражнение 445 к § 19

§ 19. Преобразование двойных радикалов · тема: Преобразование двойных радикалов

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить выражение √((b + 1)/2 − √b) − √((b + 1)/2 + √b), где b ≥ 1.

Решение

\dfrac{b + 1}{2} \pm \sqrt{b} = \dfrac{b \pm 2\sqrt{b} + 1}{2} = \dfrac{(\sqrt{b} \pm 1)^2}{2}.

Поэтому $\sqrt{\dfrac{b+1}{2} - \sqrt{b}} = \dfrac{|\sqrt{b} - 1|}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{2}}$ (при $b \ge 1$ имеем $\sqrt{b} \ge 1$ ), и $\sqrt{\dfrac{b+1}{2} + \sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{2}}$ .

\dfrac{\sqrt{b} - 1}{\sqrt{2}} - \dfrac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}.

Ответ

−√2

Почему так

Подкоренные выражения — квадраты (√b ± 1)²/2; условие b ≥ 1 позволяет снять модуль.

Подробнее — в теме «Преобразование двойных радикалов».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Упростить выражение √((c + 4)/4 + √c) − √((c + 4)/4 − √c), где c ≥ 4.

Решение

\dfrac{c + 4}{4} \pm \sqrt{c} = \dfrac{c \pm 4\sqrt{c} + 4}{4} = \dfrac{(\sqrt{c} \pm 2)^2}{4}.

Поэтому $\sqrt{\dfrac{c+4}{4} + \sqrt{c}} = \dfrac{\sqrt{c} + 2}{2}$ , а $\sqrt{\dfrac{c+4}{4} - \sqrt{c}} = \dfrac{|\sqrt{c} - 2|}{2} = \dfrac{\sqrt{c} - 2}{2}$ , так как при $c \ge 4$ имеем $\sqrt{c} \ge 2$ .

\dfrac{\sqrt{c} + 2}{2} - \dfrac{\sqrt{c} - 2}{2} = \dfrac{4}{2} = 2.

Ответ

Почему так

Подкоренные выражения — квадраты (√c ± 2)²/4; при c ≥ 4 модуль раскрывается без смены знака.

Подробнее — в теме «Преобразование двойных радикалов».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки