Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 19

Упражнение 446 к § 19

Задача 1

Условие (кратко)

а) Освободиться от внешнего радикала в выражении √(a + 2√(a − 1)), если a ≥ 1.

Решение

Представим $$a = (a - 1) + 1$$ :

a + 2\sqrt{a - 1} = (\sqrt{a - 1})^2 + 2 \cdot \sqrt{a - 1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a - 1} + 1)^2.

\sqrt{a + 2\sqrt{a - 1}} = |\sqrt{a - 1} + 1| = \sqrt{a - 1} + 1.

Ответ

√(a − 1) + 1

Почему так

Разбиваем a на (a − 1) + 1, чтобы получить квадрат суммы √(a − 1) и 1.

Условие (кратко)

б) Освободиться от внешнего радикала в выражении √(a + b + 1 + 2√(a + b)) − √(a + b + 1 − 2√(a + b)), если a + b ≥ 1.

Решение

Обозначим $t = \sqrt{a + b}$ , тогда $$a + b = t^2$$ и $t \ge 1$ .

a + b + 1 \pm 2\sqrt{a + b} = t^2 \pm 2t + 1 = (t \pm 1)^2.

\sqrt{(t + 1)^2} - \sqrt{(t - 1)^2} = (t + 1) - |t - 1| = (t + 1) - (t - 1) = 2,

так как $t - 1 \ge 0$ .

Ответ

Почему так

Оба подкоренных выражения — квадраты (√(a + b) ± 1)², а условие a + b ≥ 1 снимает модуль.