Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 2

Упражнение 38 к § 2

§ 2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей · тема: Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Задача 1

Условие (кратко)

а) (Для работы в парах.) Построить график функции y = (x² − 25)/(2x + 10).

Решение

Область определения: $2x + 10 \ne 0$ , то есть $x \ne -5$ . Сократим дробь:

\dfrac{x^2-25}{2x+10} = \dfrac{(x-5)(x+5)}{2(x+5)} = \dfrac{x-5}{2}.

Значит, $$y = 0{,}5x - 2{,}5$$ при $x \ne -5$ .

Несколько точек прямой:

$$x$$	$$-1$$	$$1$$	$$5$$
$$y$$	$$-3$$	$$-2$$	$$0$$

График — прямая $$y = 0{,}5x - 2{,}5$$ , из которой выколота точка с абсциссой $$-5$$ : $$y(-5) = -5$$ , точка $$(-5; -5)$$ изображается пустым кружком. Прямая пересекает ось $$x$$ в точке $$(5; 0)$$ , ось $$y$$ — в точке $$(0; -2{,}5)$$ .

Общее у дробей а) и б): их можно сократить, но знаменатель обращается в нуль при некоторых $$x$$ ; эти значения не входят в область определения, и на графике соответствующие точки выкалывают.

Ответ

Прямая y = 0,5x − 2,5 с выколотой точкой (−5; −5)

Почему так

После сокращения дроби график — прямая, но точки, где исходный знаменатель равен нулю, выкалывают.

Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».

Задача 2

Условие (кратко)

б) (Для работы в парах.) Построить график функции y = (x³ − 9x)/(x² − 9).

Решение

Область определения: $x^2 - 9 \ne 0$ , то есть $x \ne 3$ и $x \ne -3$ . Сократим дробь:

\dfrac{x^3-9x}{x^2-9} = \dfrac{x(x^2-9)}{x^2-9} = x.

Значит, $$y = x$$ при $x \ne \pm 3$ .

$$x$$	$$-2$$	$$0$$	$$2$$
$$y$$	$$-2$$	$$0$$	$$2$$

График — прямая $$y = x$$ (биссектриса I и III координатных четвертей), из которой выколоты две точки: $$(3; 3)$$ и $$(-3; -3)$$ .

Как и в задании а), дробь сокращается, но значения $$x$$ , при которых исходный знаменатель равен нулю, исключаются: соответствующие точки на графике выкалывают.

Ответ

Прямая y = x с выколотыми точками (3; 3) и (−3; −3)

Почему так

Дробь сокращается до x, но при x = ±3 функция не определена — эти точки выколоты.

Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки