§ 2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей · тема: Основное свойство дроби. Сокращение дробей
а) Упростить выражение (a − b)/(b − a).
Числитель и знаменатель — противоположные выражения: \(b - a = -(a - b)\).
\(\dfrac{a-b}{b-a} = \dfrac{a-b}{-(a-b)} = -1\) при \(a \ne b\).
Противоположные выражения в числителе и знаменателе дают частное −1.
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».
б) Упростить выражение (a − b)²/(b − a)².
Квадраты противоположных выражений равны: \((b-a)^2 = (a-b)^2\).
\(\dfrac{(a-b)^2}{(b-a)^2} = \dfrac{(a-b)^2}{(a-b)^2} = 1\) при \(a \ne b\).
Квадраты противоположных выражений равны, поэтому дробь равна 1.
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».
в) Упростить выражение (a − b)²/(b − a).
\((a-b)^2 = (b-a)^2\), поэтому
\(\dfrac{(a-b)^2}{b-a} = \dfrac{(b-a)^2}{b-a} = b - a\) при \(a \ne b\).
Заменяем (a − b)² на равный ему (b − a)² и сокращаем на b − a.
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».
г) Упростить выражение (a − b)/(b − a)².
\((b-a)^2 = (a-b)^2\), поэтому
\(\dfrac{a-b}{(b-a)^2} = \dfrac{a-b}{(a-b)^2} = \dfrac{1}{a-b}\) при \(a \ne b\).
Знаменатель записываем как (a − b)² и сокращаем на a − b.
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».
д) Упростить выражение (−a − b)/(a + b).
Выносим минус в числителе: \(-a - b = -(a+b)\).
\(\dfrac{-a-b}{a+b} = \dfrac{-(a+b)}{a+b} = -1\) при \(a \ne -b\).
В ответах учебника к 40 д) указано \(a + b\) — это ответ к ж); для д) верный ответ \(-1\).
Числитель противоположен знаменателю, частное равно −1.
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».
е) Упростить выражение (a + b)²/(−a − b)².
\((-a-b)^2 = \bigl(-(a+b)\bigr)^2 = (a+b)^2\), поэтому
\(\dfrac{(a+b)^2}{(-a-b)^2} = \dfrac{(a+b)^2}{(a+b)^2} = 1\) при \(a \ne -b\).
Квадрат не меняется при смене знака выражения.
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».
ж) Упростить выражение (−a − b)²/(a + b).
\((-a-b)^2 = (a+b)^2\), поэтому
\(\dfrac{(-a-b)^2}{a+b} = \dfrac{(a+b)^2}{a+b} = a + b\) при \(a \ne -b\).
Квадрат не меняется при смене знака; затем сокращаем на a + b.
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».
з) Упростить выражение (a − b − c)/(b + c − a).
Знаменатель противоположен числителю: \(b + c - a = -(a - b - c)\).
\(\dfrac{a-b-c}{b+c-a} = \dfrac{a-b-c}{-(a-b-c)} = -1\) при \(a \ne b + c\).
Числитель и знаменатель — противоположные выражения, частное −1.
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p2/upr-40/