§ 2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей · тема: Основное свойство дроби. Сокращение дробей
а) Сократить дробь a(x − 2y)/(b(2y − x)).
\(2y - x = -(x - 2y)\), поэтому
\(\dfrac{a(x-2y)}{b(2y-x)} = \dfrac{a(x-2y)}{-b(x-2y)} = -\dfrac{a}{b}\).
Меняем знак у множителя 2y − x и сокращаем на x − 2y.
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».
б) Сократить дробь 5x(x − y)/(x³(y − x)).
\(y - x = -(x - y)\), поэтому
\(\dfrac{5x(x-y)}{x^3(y-x)} = -\dfrac{5x(x-y)}{x^3(x-y)} = -\dfrac{5}{x^2}\).
Меняем знак множителя y − x и сокращаем на x(x − y).
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».
в) Сократить дробь (3a − 36)/(12b − ab).
Раскладываем на множители: \(3a - 36 = 3(a - 12)\), \(12b - ab = b(12 - a) = -b(a - 12)\).
\(\dfrac{3(a-12)}{-b(a-12)} = -\dfrac{3}{b}\).
Выносим общие множители и сокращаем на a − 12, учитывая смену знака.
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».
г) Сократить дробь (7b − 14b²)/(42b² − 21b).
\(7b - 14b^2 = 7b(1 - 2b) = -7b(2b - 1)\), \(42b^2 - 21b = 21b(2b - 1)\).
\(\dfrac{-7b(2b-1)}{21b(2b-1)} = -\dfrac{7}{21} = -\dfrac{1}{3}\).
Выносим общий множитель 7b и 21b и сокращаем на 7b(2b − 1).
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».
д) Сократить дробь (25 − a²)/(3a − 15).
\(25 - a^2 = (5-a)(5+a) = -(a-5)(a+5)\), \(3a - 15 = 3(a-5)\).
\(\dfrac{-(a-5)(a+5)}{3(a-5)} = -\dfrac{a+5}{3}\).
Разность квадратов в числителе, общий множитель в знаменателе, сокращение на a − 5.
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».
е) Сократить дробь (3 − 3x)/(x² − 2x + 1).
\(3 - 3x = 3(1 - x)\), \(x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = (1-x)^2\).
\(\dfrac{3(1-x)}{(1-x)^2} = \dfrac{3}{1-x}\).
Знаменатель — квадрат разности, сокращаем на 1 − x.
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».
ж) Сократить дробь (8b² − 8a²)/(a² − 2ab + b²).
\(8b^2 - 8a^2 = 8(b-a)(b+a)\), \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 = (b-a)^2\).
\(\dfrac{8(b-a)(a+b)}{(b-a)^2} = \dfrac{8(a+b)}{b-a} = \dfrac{8a+8b}{b-a}\).
Разность квадратов и квадрат разности, затем сокращение на b − a.
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».
з) Сократить дробь (b − 2)³/(2 − b)².
\((2-b)^2 = (b-2)^2\), поэтому
\(\dfrac{(b-2)^3}{(b-2)^2} = b - 2\) при \(b \ne 2\).
Квадраты противоположных выражений равны; сокращаем на (b − 2)².
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p2/upr-42/