Задача 1
Задача-исследование. Верно ли, что при всех a, отличных от −2 и 2, значение дроби (a² − 4)/(12 + a² − a⁴) отрицательно?
Решение
-
Пробное значение: при \(a = 0\) дробь равна \(\dfrac{-4}{12} = -\dfrac{1}{3} < 0\); при \(a = 3\) — \(\dfrac{5}{12 + 9 - 81} = -\dfrac{1}{12} < 0\). Примеры не доказывают утверждение, но подсказывают, что оно верно.
-
Нужно сократить дробь: разложить знаменатель на множители.
-
\(12 + a^2 - a^4 = -(a^4 - a^2 - 12)\). Трёхчлен относительно \(a^2\): \(a^4 - a^2 - 12 = (a^2 - 4)(a^2 + 3)\) (проверка: \(a^4 + 3a^2 - 4a^2 - 12\)).
Сокращение законно при \(a \ne \pm 2\). Так как \(a^2 + 3 > 0\) при любом \(a\), дробь \(-\dfrac{1}{a^2+3}\) всегда отрицательна.
Ответ
После сокращения получается −1/(a² + 3), а a² + 3 всегда положительно.
Подробнее — в теме «Основное свойство дроби. Сокращение дробей».