Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 2

Упражнение 48 к § 2

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что значение дроби (3ⁿ⁺² − 3ⁿ)/(3ⁿ⁺² + 3ⁿ⁺¹ + 3ⁿ) не зависит от натурального n.

Решение

Выносим $$3^n$$ в числителе и знаменателе: $3^{n+2} = 3^n \cdot 9$ , $3^{n+1} = 3^n \cdot 3$ .

\dfrac{3^{n+2} - 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n} = \dfrac{3^n(9 - 1)}{3^n(9 + 3 + 1)} = \dfrac{8}{13}.

Значение равно $\dfrac{8}{13}$ при любом $$n$$ , то есть от $$n$$ не зависит.

Ответ

Дробь равна 8/13 при любом n

Почему так

Общий множитель 3ⁿ сокращается, и n из дроби исчезает.

Условие (кратко)

б) Доказать, что значение дроби (16ⁿ⁺¹ − 2ⁿ⁺⁴)/(4 · 2ⁿ(2³ⁿ − 1)) не зависит от натурального n.

Решение

Запишем всё через степени двойки: $16^{n+1} = 2^{4n+4}$ , $$4 = 2^2$$ .

Числитель: $2^{4n+4} - 2^{n+4} = 2^{n+4}(2^{3n} - 1)$ . Знаменатель: $4 \cdot 2^n(2^{3n} - 1) = 2^{n+2}(2^{3n} - 1)$ .

\dfrac{2^{n+4}(2^{3n}-1)}{2^{n+2}(2^{3n}-1)} = 2^2 = 4.

При натуральном $$n$$ множитель $2^{3n} - 1 \ne 0$ , сокращение законно. Значение равно 4 и от $$n$$ не зависит.

Ответ

Дробь равна 4 при любом n

Почему так

Переводим 16 и 4 в степени двойки, выносим 2ⁿ⁺⁴ и сокращаем.