Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 532 к § 21

§ 21. Формула корней квадратного уравнения · тема: Формула корней квадратного уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение 3x² − 7x + 4 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 3$$ , $$b = -7$$ , $$c = 4$$ .

D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{7 \pm 1}{6}.

$x_1 = \dfrac{7 - 1}{6} = 1$ , $x_2 = \dfrac{7 + 1}{6} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}$ .

Ответ

1; 1 1/3

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение 5x² − 8x + 3 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 5$$ , $$b = -8$$ , $$c = 3$$ .

D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{8 \pm 2}{10}.

$x_1 = \dfrac{8 - 2}{10} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$ , $x_2 = \dfrac{8 + 2}{10} = 1$ .

Ответ

0,6; 1

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение 3x² − 13x + 14 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 3$$ , $$b = -13$$ , $$c = 14$$ .

D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{13 \pm 1}{6}.

$x_1 = \dfrac{13 - 1}{6} = 2$ , $x_2 = \dfrac{13 + 1}{6} = \dfrac{7}{3} = 2\dfrac{1}{3}$ .

Ответ

2; 2 1/3

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение 2y² − 9y + 10 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 2$$ , $$b = -9$$ , $$c = 10$$ .

D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1,\quad D > 0.

y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{9 \pm 1}{4}.

$y_1 = \dfrac{9 - 1}{4} = 2$ , $y_2 = \dfrac{9 + 1}{4} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$ .

Ответ

2; 2,5

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить уравнение 5y² − 6y + 1 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 5$$ , $$b = -6$$ , $$c = 1$$ .

D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16,\quad D > 0.

y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{6 \pm 4}{10}.

$y_1 = \dfrac{6 - 4}{10} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ , $y_2 = \dfrac{6 + 4}{10} = 1$ .

Ответ

0,2; 1

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить уравнение 4x² + x − 33 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 4$$ , $$b = 1$$ , $$c = -33$$ .

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-33) = 1 + 528 = 529,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1 \pm 23}{8}.

$x_1 = \dfrac{-1 - 23}{8} = -3$ , $x_2 = \dfrac{-1 + 23}{8} = \dfrac{11}{4} = 2{,}75$ .

Ответ

−3; 2,75

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Решить уравнение y² − 10y − 24 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -10$$ , $$c = -24$$ .

D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196,\quad D > 0.

y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{10 \pm 14}{2}.

$y_1 = \dfrac{10 - 14}{2} = -2$ , $y_2 = \dfrac{10 + 14}{2} = 12$ .

Ответ

−2; 12

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Решить уравнение p² + p − 90 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = 1$$ , $$c = -90$$ .

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361,\quad D > 0.

p_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1 \pm 19}{2}.

$p_1 = \dfrac{-1 - 19}{2} = -10$ , $p_2 = \dfrac{-1 + 19}{2} = 9$ .

Ответ

−10; 9

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Похожие задачи для тренировки