Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 533 к § 21

§ 21. Формула корней квадратного уравнения · тема: Формула корней квадратного уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение 14x² − 5x − 1 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 14$$ , $$b = -5$$ , $$c = -1$$ .

D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-1) = 25 + 56 = 81,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{5 \pm 9}{28}.

$x_1 = \dfrac{5 - 9}{28} = -\dfrac{1}{7}$ , $x_2 = \dfrac{5 + 9}{28} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$ .

Ответ

−1/7; 0,5

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение −y² + 3y + 5 = 0.

Решение

Умножим обе части на $$-1$$ , чтобы старший коэффициент стал положительным: $$y^2 - 3y - 5 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -3$$ , $$c = -5$$ .

D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29,\quad D > 0.

y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{3 \pm \sqrt{29}}{2}.

Ответ

(3 ± √29)/2

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение 2x² + x + 67 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 2$$ , $$b = 1$$ , $$c = 67$$ .

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 67 = 1 - 536 = -535,\quad D < 0.

Дискриминант отрицателен, поэтому уравнение корней не имеет.

Ответ

Корней нет

Почему так

При отрицательном дискриминанте квадратное уравнение корней не имеет.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение 1 − 18p + 81p² = 0.

Решение

Запишем члены по убыванию степеней: $$81p^2 - 18p + 1 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 81$$ , $$b = -18$$ , $$c = 1$$ .

D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 81 \cdot 1 = 324 - 324 = 0.

Дискриминант равен нулю — уравнение имеет один корень:

p = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{18}{162} = \dfrac{1}{9}.

Ответ

1/9

Почему так

При D = 0 квадратное уравнение имеет один корень x = −b/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить уравнение −11y + y² − 152 = 0.

Решение

Запишем члены по убыванию степеней: $$y^2 - 11y - 152 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -11$$ , $$c = -152$$ .

D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-152) = 121 + 608 = 729,\quad D > 0.

y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{11 \pm 27}{2}.

$y_1 = \dfrac{11 - 27}{2} = -8$ , $y_2 = \dfrac{11 + 27}{2} = 19$ .

Ответ

−8; 19

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить уравнение 18 + 3x² − x = 0.

Решение

Запишем члены по убыванию степеней: $$3x^2 - x + 18 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 3$$ , $$b = -1$$ , $$c = 18$$ .

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 1 - 216 = -215,\quad D < 0.

Дискриминант отрицателен, поэтому уравнение корней не имеет.

Ответ

Корней нет

Почему так

При отрицательном дискриминанте квадратное уравнение корней не имеет.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки