Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 534 к § 21

§ 21. Формула корней квадратного уравнения · тема: Формула корней квадратного уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти корни уравнения 5x² − 11x + 2 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 5$$ , $$b = -11$$ , $$c = 2$$ .

D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{11 \pm 9}{10}.

$x_1 = \dfrac{11 - 9}{10} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ , $x_2 = \dfrac{11 + 9}{10} = 2$ .

Ответ

0,2; 2

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти корни уравнения 2p² + 7p − 30 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 2$$ , $$b = 7$$ , $$c = -30$$ .

D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289,\quad D > 0.

p_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-7 \pm 17}{4}.

$p_1 = \dfrac{-7 - 17}{4} = -6$ , $p_2 = \dfrac{-7 + 17}{4} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$ .

Ответ

−6; 2,5

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти корни уравнения 9y² − 30y + 25 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 9$$ , $$b = -30$$ , $$c = 25$$ .

D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900 - 900 = 0.

Дискриминант равен нулю — уравнение имеет один корень:

y = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{30}{18} = \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3}.

Ответ

1 2/3

Почему так

При D = 0 квадратное уравнение имеет один корень x = −b/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти корни уравнения 35x² + 2x − 1 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 35$$ , $$b = 2$$ , $$c = -1$$ .

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 35 \cdot (-1) = 4 + 140 = 144,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-2 \pm 12}{70}.

$x_1 = \dfrac{-2 - 12}{70} = -\dfrac{1}{5} = -0{,}2$ , $x_2 = \dfrac{-2 + 12}{70} = \dfrac{1}{7}$ .

Ответ

−0,2; 1/7

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Найти корни уравнения 2y² − y − 5 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 2$$ , $$b = -1$$ , $$c = -5$$ .

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 1 + 40 = 41,\quad D > 0.

y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{1 \pm \sqrt{41}}{4}.

Ответ

(1 ± √41)/4

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Найти корни уравнения 16x² − 8x + 1 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 16$$ , $$b = -8$$ , $$c = 1$$ .

D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0.

Дискриминант равен нулю — уравнение имеет один корень:

x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25.

Ответ

0,25

Почему так

При D = 0 квадратное уравнение имеет один корень x = −b/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки