Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 535 к § 21

§ 21. Формула корней квадратного уравнения · тема: Формула корней квадратного уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) При каких x трёхчлен x² − 11x + 31 принимает значение, равное 1?

Решение

Составим уравнение $$x^2 - 11x + 31 = 1$$ , откуда $$x^2 - 11x + 30 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -11$$ , $$c = 30$$ .

D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{11 \pm 1}{2}.

$x_1 = \dfrac{11 - 1}{2} = 5$ , $x_2 = \dfrac{11 + 1}{2} = 6$ .

Ответ

При x = 5 и x = 6

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) При каких x значения многочленов x² − 5x − 3 и 2x − 5 равны?

Решение

Составим уравнение $$x^2 - 5x - 3 = 2x - 5$$ , откуда $$x^2 - 7x + 2 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -7$$ , $$c = 2$$ .

D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 49 - 8 = 41,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{7 \pm \sqrt{41}}{2}.

Ответ

При x = (7 ± √41)/2

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) При каких x двучлен 7x + 1 равен трёхчлену 3x² − 2x + 1?

Решение

Составим уравнение $$7x + 1 = 3x^2 - 2x + 1$$ , откуда $$3x^2 - 9x = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 3$$ , $$b = -9$$ , $$c = 0$$ .

D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 0 = 81 = 81,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{9 \pm 9}{6}.

$x_1 = \dfrac{9 - 9}{6} = 0$ , $x_2 = \dfrac{9 + 9}{6} = 3$ .

(Неполное уравнение можно решить и разложением: $$3x(x - 3) = 0$$ .)

Ответ

При x = 0 и x = 3

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) При каких x трёхчлен −2x² + 5x + 6 равен двучлену 4x² + 5x?

Решение

Составим уравнение $$-2x^2 + 5x + 6 = 4x^2 + 5x$$ , откуда $$-6x^2 + 6 = 0$$ , или $$6x^2 - 6 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 6$$ , $$b = 0$$ , $$c = -6$$ .

D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 0 + 144 = 144,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{0 \pm 12}{12}.

$x_1 = \dfrac{0 - 12}{12} = -1$ , $x_2 = \dfrac{0 + 12}{12} = 1$ .

(Это неполное уравнение можно решить и проще: $$x^2 = 1$$ , $x = \pm 1$ .)

Ответ

При x = −1 и x = 1

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки