Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 537 к § 21

§ 21. Формула корней квадратного уравнения · тема: Формула корней квадратного уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение 3x² − 14x + 16 = 0, используя формулу (II).

Решение

Коэффициенты: $$a = 3$$ , $$b = -14$$ , $$c = 16$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -7$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-7)^2 - 3 \cdot 16 = 49 - 48 = 1,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{7 \pm 1}{3}.

$x_1 = \dfrac{7 - 1}{3} = 2$ , $x_2 = \dfrac{7 + 1}{3} = \dfrac{8}{3} = 2\dfrac{2}{3}$ .

Ответ

2; 2 2/3

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение 5p² − 16p + 3 = 0, используя формулу (II).

Решение

Коэффициенты: $$a = 5$$ , $$b = -16$$ , $$c = 3$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -8$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-8)^2 - 5 \cdot 3 = 64 - 15 = 49,\quad D_1 > 0.

p_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{8 \pm 7}{5}.

$p_1 = \dfrac{8 - 7}{5} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ , $p_2 = \dfrac{8 + 7}{5} = 3$ .

Ответ

0,2; 3

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение d² + 2d − 80 = 0, используя формулу (II).

Решение

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = 2$$ , $$c = -80$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = 1$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = 1^2 - 1 \cdot (-80) = 1 + 80 = 81,\quad D_1 > 0.

d_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = -1 \pm 9.

$$d_1 = -1 - 9 = -10$$ , $$d_2 = -1 + 9 = 8$$ .

Ответ

−10; 8

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение x² − 22x − 23 = 0, используя формулу (II).

Решение

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -22$$ , $$c = -23$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -11$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 1 \cdot (-23) = 121 + 23 = 144,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = 11 \pm 12.

$$x_1 = 11 - 12 = -1$$ , $$x_2 = 11 + 12 = 23$$ .

Ответ

−1; 23

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить уравнение 4t² − 36t + 77 = 0, используя формулу (II).

Решение

Коэффициенты: $$a = 4$$ , $$b = -36$$ , $$c = 77$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -18$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-18)^2 - 4 \cdot 77 = 324 - 308 = 16,\quad D_1 > 0.

t_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{18 \pm 4}{4}.

$t_1 = \dfrac{18 - 4}{4} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5$ , $t_2 = \dfrac{18 + 4}{4} = \dfrac{11}{2} = 5{,}5$ .

Ответ

3,5; 5,5

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить уравнение 15y² − 22y − 37 = 0, используя формулу (II).

Решение

Коэффициенты: $$a = 15$$ , $$b = -22$$ , $$c = -37$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -11$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 15 \cdot (-37) = 121 + 555 = 676,\quad D_1 > 0.

y_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 26}{15}.

$y_1 = \dfrac{11 - 26}{15} = -1$ , $y_2 = \dfrac{11 + 26}{15} = \dfrac{37}{15} = 2\dfrac{7}{15}$ .

Ответ

−1; 2 7/15

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Решить уравнение 7z² − 20z + 14 = 0, используя формулу (II).

Решение

Коэффициенты: $$a = 7$$ , $$b = -20$$ , $$c = 14$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -10$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-10)^2 - 7 \cdot 14 = 100 - 98 = 2,\quad D_1 > 0.

z_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{10 \pm \sqrt{2}}{7}.

Ответ

(10 ± √2)/7

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Решить уравнение y² − 10y − 25 = 0, используя формулу (II).

Решение

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -10$$ , $$c = -25$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -5$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-5)^2 - 1 \cdot (-25) = 25 + 25 = 50,\quad D_1 > 0.

y_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = 5 \pm \sqrt{50}.

Так как $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ , то

y_{1,2} = 5 \pm 5\sqrt{2}.

Ответ

5 ± 5√2

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Похожие задачи для тренировки