Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 538 к § 21

§ 21. Формула корней квадратного уравнения · тема: Формула корней квадратного уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение 8x² − 14x + 5 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 8$$ , $$b = -14$$ , $$c = 5$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -7$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-7)^2 - 8 \cdot 5 = 49 - 40 = 9,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{7 \pm 3}{8}.

$x_1 = \dfrac{7 - 3}{8} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$ , $x_2 = \dfrac{7 + 3}{8} = \dfrac{5}{4} = 1{,}25$ .

Ответ

0,5; 1,25

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение 12t² + 16t − 3 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 12$$ , $$b = 16$$ , $$c = -3$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = 8$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = 8^2 - 12 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100,\quad D_1 > 0.

t_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{-8 \pm 10}{12}.

$t_1 = \dfrac{-8 - 10}{12} = -\dfrac{3}{2} = -1{,}5$ , $t_2 = \dfrac{-8 + 10}{12} = \dfrac{1}{6}$ .

Ответ

−1,5; 1/6

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение 4p² + 4p + 1 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 4$$ , $$b = 4$$ , $$c = 1$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = 2$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = 2^2 - 4 \cdot 1 = 4 - 4 = 0.

Дискриминант равен нулю — уравнение имеет один корень:

p = -\dfrac{k}{a} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5.

Ответ

−0,5

Почему так

При D = 0 квадратное уравнение имеет один корень x = −b/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение x² − 8x − 84 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -8$$ , $$c = -84$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -4$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-4)^2 - 1 \cdot (-84) = 16 + 84 = 100,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = 4 \pm 10.

$$x_1 = 4 - 10 = -6$$ , $$x_2 = 4 + 10 = 14$$ .

Ответ

−6; 14

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить уравнение m² + 6m − 19 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = 6$$ , $$c = -19$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = 3$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = 3^2 - 1 \cdot (-19) = 9 + 19 = 28,\quad D_1 > 0.

m_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = -3 \pm \sqrt{28}.

Так как $\sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ , то

m_{1,2} = -3 \pm 2\sqrt{7}.

Ответ

−3 ± 2√7

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить уравнение 5y² + 26y − 24 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 5$$ , $$b = 26$$ , $$c = -24$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = 13$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = 13^2 - 5 \cdot (-24) = 169 + 120 = 289,\quad D_1 > 0.

y_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{-13 \pm 17}{5}.

$y_1 = \dfrac{-13 - 17}{5} = -6$ , $y_2 = \dfrac{-13 + 17}{5} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$ .

Ответ

−6; 0,8

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Решить уравнение z² − 34z + 289 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -34$$ , $$c = 289$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -17$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-17)^2 - 1 \cdot 289 = 289 - 289 = 0.

Дискриминант равен нулю — уравнение имеет один корень:

\[z = -k = 17.\]

Ответ

Почему так

При D = 0 квадратное уравнение имеет один корень x = −b/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Решить уравнение 3x² + 32x + 80 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 3$$ , $$b = 32$$ , $$c = 80$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = 16$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = 16^2 - 3 \cdot 80 = 256 - 240 = 16,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{-16 \pm 4}{3}.

$x_1 = \dfrac{-16 - 4}{3} = -\dfrac{20}{3} = -6\dfrac{2}{3}$ , $x_2 = \dfrac{-16 + 4}{3} = -4$ .

Ответ

−6 2/3; −4

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Похожие задачи для тренировки