Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 539 к § 21

§ 21. Формула корней квадратного уравнения · тема: Формула корней квадратного уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение 2x² − 5x − 3 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 2$$ , $$b = -5$$ , $$c = -3$$ .

D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{5 \pm 7}{4}.

$x_1 = \dfrac{5 - 7}{4} = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5$ , $x_2 = \dfrac{5 + 7}{4} = 3$ .

Ответ

−0,5; 3

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение 3x² − 8x + 5 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 3$$ , $$b = -8$$ , $$c = 5$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -4$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-4)^2 - 3 \cdot 5 = 16 - 15 = 1,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{4 \pm 1}{3}.

$x_1 = \dfrac{4 - 1}{3} = 1$ , $x_2 = \dfrac{4 + 1}{3} = \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3}$ .

Ответ

1; 1 2/3

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение 5x² + 9x + 4 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 5$$ , $$b = 9$$ , $$c = 4$$ .

D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 81 - 80 = 1,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-9 \pm 1}{10}.

$x_1 = \dfrac{-9 - 1}{10} = -1$ , $x_2 = \dfrac{-9 + 1}{10} = -\dfrac{4}{5} = -0{,}8$ .

Ответ

−1; −0,8

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение 36y² − 12y + 1 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 36$$ , $$b = -12$$ , $$c = 1$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -6$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-6)^2 - 36 \cdot 1 = 36 - 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — уравнение имеет один корень:

y = -\dfrac{k}{a} = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}.

Ответ

1/6

Почему так

При D = 0 квадратное уравнение имеет один корень x = −b/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить уравнение 3t² − 3t + 1 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 3$$ , $$b = -3$$ , $$c = 1$$ .

D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 9 - 12 = -3,\quad D < 0.

Дискриминант отрицателен, поэтому уравнение корней не имеет.

Ответ

Корней нет

Почему так

При отрицательном дискриминанте квадратное уравнение корней не имеет.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить уравнение x² + 9x − 22 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = 9$$ , $$c = -22$$ .

D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-9 \pm 13}{2}.

$x_1 = \dfrac{-9 - 13}{2} = -11$ , $x_2 = \dfrac{-9 + 13}{2} = 2$ .

Ответ

−11; 2

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Решить уравнение y² − 12y + 32 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -12$$ , $$c = 32$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -6$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-6)^2 - 1 \cdot 32 = 36 - 32 = 4,\quad D_1 > 0.

y_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = 6 \pm 2.

$$y_1 = 6 - 2 = 4$$ , $$y_2 = 6 + 2 = 8$$ .

Ответ

4; 8

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Решить уравнение 100x² − 160x + 63 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 100$$ , $$b = -160$$ , $$c = 63$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -80$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-80)^2 - 100 \cdot 63 = 6400 - 6300 = 100,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{80 \pm 10}{100}.

$x_1 = \dfrac{80 - 10}{100} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7$ , $x_2 = \dfrac{80 + 10}{100} = \dfrac{9}{10} = 0{,}9$ .

Ответ

0,7; 0,9

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Похожие задачи для тренировки