Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 540 к § 21

§ 21. Формула корней квадратного уравнения · тема: Формула корней квадратного уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение 5x² = 9x + 2.

Решение

Перенесём все члены в левую часть: \(5x^2 - 9x - 2 = 0\).

Коэффициенты: \(a = 5\), \(b = -9\), \(c = -2\).

\[D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121,\quad D > 0.\]
\[x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{9 \pm 11}{10}.\]

\(x_1 = \dfrac{9 - 11}{10} = -\dfrac{1}{5} = -0{,}2\), \(x_2 = \dfrac{9 + 11}{10} = 2\).

Ответ
−0,2; 2
Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение −t² = 5t − 14.

Решение

Перенесём все члены в правую часть: \(0 = t^2 + 5t - 14\), то есть \(t^2 + 5t - 14 = 0\).

Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = -14\).

\[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81,\quad D > 0.\]
\[t_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-5 \pm 9}{2}.\]

\(t_1 = \dfrac{-5 - 9}{2} = -7\), \(t_2 = \dfrac{-5 + 9}{2} = 2\).

Ответ
−7; 2
Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение 6x + 9 = x².

Решение

Перенесём все члены в правую часть: \(x^2 - 6x - 9 = 0\).

Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = -9\).

Второй коэффициент чётный, \(k = \dfrac{b}{2} = -3\). Применим формулу (II).

\[D_1 = k^2 - ac = (-3)^2 - 1 \cdot (-9) = 9 + 9 = 18,\quad D_1 > 0.\]
\[x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = 3 \pm \sqrt{18}.\]

Так как \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), то

\[x_{1,2} = 3 \pm 3\sqrt{2}.\]
Ответ
3 ± 3√2
Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение z − 5 = z² − 25.

Решение

Перенесём все члены в правую часть: \(z^2 - 25 - z + 5 = 0\), то есть \(z^2 - z - 20 = 0\).

Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -20\).

\[D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81,\quad D > 0.\]
\[z_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{1 \pm 9}{2}.\]

\(z_1 = \dfrac{1 - 9}{2} = -4\), \(z_2 = \dfrac{1 + 9}{2} = 5\).

Ответ
−4; 5
Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить уравнение y² = 52y − 576.

Решение

Перенесём все члены в левую часть: \(y^2 - 52y + 576 = 0\).

Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -52\), \(c = 576\).

Второй коэффициент чётный, \(k = \dfrac{b}{2} = -26\). Применим формулу (II).

\[D_1 = k^2 - ac = (-26)^2 - 1 \cdot 576 = 676 - 576 = 100,\quad D_1 > 0.\]
\[y_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = 26 \pm 10.\]

\(y_1 = 26 - 10 = 16\), \(y_2 = 26 + 10 = 36\).

Ответ
16; 36
Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить уравнение 15y² − 30 = 22y + 7.

Решение

Перенесём все члены в левую часть: \(15y^2 - 22y - 30 - 7 = 0\), то есть \(15y^2 - 22y - 37 = 0\).

Коэффициенты: \(a = 15\), \(b = -22\), \(c = -37\).

Второй коэффициент чётный, \(k = \dfrac{b}{2} = -11\). Применим формулу (II).

\[D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 15 \cdot (-37) = 121 + 555 = 676,\quad D_1 > 0.\]
\[y_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 26}{15}.\]

\(y_1 = \dfrac{11 - 26}{15} = -1\), \(y_2 = \dfrac{11 + 26}{15} = \dfrac{37}{15} = 2\dfrac{7}{15}\).

Ответ
−1; 2 7/15
Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Решить уравнение 25p² = 10p − 1.

Решение

Перенесём все члены в левую часть: \(25p^2 - 10p + 1 = 0\).

Коэффициенты: \(a = 25\), \(b = -10\), \(c = 1\).

Второй коэффициент чётный, \(k = \dfrac{b}{2} = -5\). Применим формулу (II).

\[D_1 = k^2 - ac = (-5)^2 - 25 \cdot 1 = 25 - 25 = 0.\]

Дискриминант равен нулю — уравнение имеет один корень:

\[p = -\dfrac{k}{a} = \dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2.\]
Ответ
0,2
Почему так

При D = 0 квадратное уравнение имеет один корень x = −b/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Решить уравнение 299x² + 100x = 500 − 101x².

Решение

Перенесём все члены в левую часть: \(299x^2 + 101x^2 + 100x - 500 = 0\), то есть \(400x^2 + 100x - 500 = 0\).

Разделим обе части на 100: \(4x^2 + x - 5 = 0\).

Коэффициенты: \(a = 4\), \(b = 1\), \(c = -5\).

\[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81,\quad D > 0.\]
\[x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1 \pm 9}{8}.\]

\(x_1 = \dfrac{-1 - 9}{8} = -\dfrac{5}{4} = -1{,}25\), \(x_2 = \dfrac{-1 + 9}{8} = 1\).

Ответ
−1,25; 1
Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Похожие задачи для тренировки

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

Опечатка, неверный ответ, непонятное объяснение — напишите, что не так. Мы проверим и исправим.

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p21/upr-540/