Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 541 к § 21

§ 21. Формула корней квадратного уравнения · тема: Формула корней квадратного уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение 25 = 26x − x².

Решение

Перенесём все члены в левую часть: $$x^2 - 26x + 25 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -26$$ , $$c = 25$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -13$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-13)^2 - 1 \cdot 25 = 169 - 25 = 144,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = 13 \pm 12.

$$x_1 = 13 - 12 = 1$$ , $$x_2 = 13 + 12 = 25$$ .

Ответ

1; 25

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение 3t² = 10 − 29t.

Решение

Перенесём все члены в левую часть: $$3t^2 + 29t - 10 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 3$$ , $$b = 29$$ , $$c = -10$$ .

D = b^2 - 4ac = 29^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 841 + 120 = 961,\quad D > 0.

t_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-29 \pm 31}{6}.

$t_1 = \dfrac{-29 - 31}{6} = -10$ , $t_2 = \dfrac{-29 + 31}{6} = \dfrac{1}{3}$ .

Ответ

−10; 1/3

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение y² = 4y + 96.

Решение

Перенесём все члены в левую часть: $$y^2 - 4y - 96 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -4$$ , $$c = -96$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -2$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-2)^2 - 1 \cdot (-96) = 4 + 96 = 100,\quad D_1 > 0.

y_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = 2 \pm 10.

$$y_1 = 2 - 10 = -8$$ , $$y_2 = 2 + 10 = 12$$ .

Ответ

−8; 12

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение 3p² + 3 = 10p.

Решение

Перенесём все члены в левую часть: $$3p^2 - 10p + 3 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 3$$ , $$b = -10$$ , $$c = 3$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -5$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-5)^2 - 3 \cdot 3 = 25 - 9 = 16,\quad D_1 > 0.

p_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{5 \pm 4}{3}.

$p_1 = \dfrac{5 - 4}{3} = \dfrac{1}{3}$ , $p_2 = \dfrac{5 + 4}{3} = 3$ .

Ответ

1/3; 3

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить уравнение x² − 20x = 20x + 100.

Решение

Перенесём все члены в левую часть: $$x^2 - 40x - 100 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -40$$ , $$c = -100$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -20$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-20)^2 - 1 \cdot (-100) = 400 + 100 = 500,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = 20 \pm \sqrt{500}.

Так как $\sqrt{500} = 10\sqrt{5}$ , то

x_{1,2} = 20 \pm 10\sqrt{5}.

Ответ

20 ± 10√5

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить уравнение 25x² − 13x = 10x² − 7.

Решение

Перенесём все члены в левую часть: $$15x^2 - 13x + 7 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 15$$ , $$b = -13$$ , $$c = 7$$ .

D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 7 = 169 - 420 = -251,\quad D < 0.

Дискриминант отрицателен, поэтому уравнение корней не имеет.

Ответ

Корней нет

Почему так

При отрицательном дискриминанте квадратное уравнение корней не имеет.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки