Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 542 к § 21

§ 21. Формула корней квадратного уравнения · тема: Формула корней квадратного уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти корни уравнения (2x − 3)(5x + 1) = 2x + 2/5.

Решение

Раскроем скобки: $10x^2 + 2x - 15x - 3 = 2x + \dfrac{2}{5}$ , то есть $10x^2 - 13x - 3 = 2x + \dfrac{2}{5}$ .

Перенесём всё влево: $10x^2 - 15x - 3\dfrac{2}{5} = 0$ . Умножим обе части на 5: $$50x^2 - 75x - 17 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 50$$ , $$b = -75$$ , $$c = -17$$ .

D = b^2 - 4ac = (-75)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-17) = 5625 + 3400 = 9025,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{75 \pm 95}{100}.

$x_1 = \dfrac{75 - 95}{100} = -\dfrac{1}{5} = -0{,}2$ , $x_2 = \dfrac{75 + 95}{100} = \dfrac{17}{10} = 1{,}7$ .

Ответ

−0,2; 1,7

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти корни уравнения (3y − 1)(y + 3) = y(1 + 6y).

Решение

Раскроем скобки: $$3y^2 + 9y - y - 3 = y + 6y^2$$ , то есть $$3y^2 + 8y - 3 = y + 6y^2$$ .

Перенесём всё в правую часть: $$6y^2 - 3y^2 + y - 8y + 3 = 0$$ , то есть $$3y^2 - 7y + 3 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 3$$ , $$b = -7$$ , $$c = 3$$ .

D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 - 36 = 13,\quad D > 0.

y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{7 \pm \sqrt{13}}{6}.

Ответ

(7 ± √13)/6

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти корни уравнения (t − 1)(t + 1) = 2(5t − 10 1/2).

Решение

Слева разность квадратов, справа раскроем скобки: $$t^2 - 1 = 10t - 21$$ .

Перенесём всё влево: $$t^2 - 10t + 20 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -10$$ , $$c = 20$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -5$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-5)^2 - 1 \cdot 20 = 25 - 20 = 5,\quad D_1 > 0.

t_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = 5 \pm \sqrt{5}.

Ответ

5 ± √5

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти корни уравнения −z(z + 7) = (z − 2)(z + 2).

Решение

Раскроем скобки: $$-z^2 - 7z = z^2 - 4$$ .

Перенесём всё вправо: $$z^2 + z^2 + 7z - 4 = 0$$ , то есть $$2z^2 + 7z - 4 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 2$$ , $$b = 7$$ , $$c = -4$$ .

D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81,\quad D > 0.

z_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-7 \pm 9}{4}.

$z_1 = \dfrac{-7 - 9}{4} = -4$ , $z_2 = \dfrac{-7 + 9}{4} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$ .

Ответ

−4; 0,5

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки