Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 543 к § 21

§ 21. Формула корней квадратного уравнения · тема: Формула корней квадратного уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение (x + 4)² = 3x + 40.

Решение

Раскроем квадрат суммы: $$x^2 + 8x + 16 = 3x + 40$$ , откуда $$x^2 + 5x - 24 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = 5$$ , $$c = -24$$ .

D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-5 \pm 11}{2}.

$x_1 = \dfrac{-5 - 11}{2} = -8$ , $x_2 = \dfrac{-5 + 11}{2} = 3$ .

Ответ

−8; 3

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение (2p − 3)² = 11p − 19.

Решение

Раскроем квадрат разности: $$4p^2 - 12p + 9 = 11p - 19$$ , откуда $$4p^2 - 23p + 28 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 4$$ , $$b = -23$$ , $$c = 28$$ .

D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 28 = 529 - 448 = 81,\quad D > 0.

p_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{23 \pm 9}{8}.

$p_1 = \dfrac{23 - 9}{8} = \dfrac{7}{4} = 1{,}75$ , $p_2 = \dfrac{23 + 9}{8} = 4$ .

Ответ

1,75; 4

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение 3(x + 4)² = 10x + 32.

Решение

Раскроем скобки: $$3(x^2 + 8x + 16) = 10x + 32$$ , то есть $$3x^2 + 24x + 48 = 10x + 32$$ , откуда $$3x^2 + 14x + 16 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 3$$ , $$b = 14$$ , $$c = 16$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = 7$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = 7^2 - 3 \cdot 16 = 49 - 48 = 1,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{-7 \pm 1}{3}.

$x_1 = \dfrac{-7 - 1}{3} = -\dfrac{8}{3} = -2\dfrac{2}{3}$ , $x_2 = \dfrac{-7 + 1}{3} = -2$ .

Ответ

−2 2/3; −2

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение 15y² + 17 = 15(y + 1)².

Решение

Раскроем скобки в правой части: $$15y^2 + 17 = 15y^2 + 30y + 15$$ .

Члены $$15y^2$$ взаимно уничтожаются, и уравнение оказывается линейным: $$30y = 2$$ , $y = \dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{15}$ .

Ответ

1/15

Почему так

После раскрытия скобок квадратные члены сократились, осталось линейное уравнение.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить уравнение (x + 1)² = 7918 − 2x.

Решение

Раскроем квадрат: $$x^2 + 2x + 1 = 7918 - 2x$$ , откуда $$x^2 + 4x - 7917 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = 4$$ , $$c = -7917$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = 2$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = 2^2 - 1 \cdot (-7917) = 4 + 7917 = 7921,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = -2 \pm 89.

$$x_1 = -2 - 89 = -91$$ , $$x_2 = -2 + 89 = 87$$ .

Ответ

−91; 87

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить уравнение (m + 2)² = 3131 − 2m.

Решение

Раскроем квадрат: $$m^2 + 4m + 4 = 3131 - 2m$$ , откуда $$m^2 + 6m - 3127 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = 6$$ , $$c = -3127$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = 3$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = 3^2 - 1 \cdot (-3127) = 9 + 3127 = 3136,\quad D_1 > 0.

m_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = -3 \pm 56.

$$m_1 = -3 - 56 = -59$$ , $$m_2 = -3 + 56 = 53$$ .

Ответ

−59; 53

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Решить уравнение (x + 1)² = (2x − 1)².

Решение

Раскроем квадраты: $$x^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 4x + 1$$ , откуда $$3x^2 - 6x = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 3$$ , $$b = -6$$ , $$c = 0$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -3$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-3)^2 - 3 \cdot 0 = 9 = 9,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{3 \pm 3}{3}.

$x_1 = \dfrac{3 - 3}{3} = 0$ , $x_2 = \dfrac{3 + 3}{3} = 2$ .

Ответ

0; 2

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Решить уравнение (n − 2)² + 48 = (2 − 3n)².

Решение

Раскроем квадраты: $$n^2 - 4n + 4 + 48 = 4 - 12n + 9n^2$$ , откуда $$8n^2 - 8n - 48 = 0$$ .

Разделим обе части на 8: $$n^2 - n - 6 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -1$$ , $$c = -6$$ .

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25,\quad D > 0.

n_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{1 \pm 5}{2}.

$n_1 = \dfrac{1 - 5}{2} = -2$ , $n_2 = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$ .

Ответ

−2; 3

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Похожие задачи для тренировки