Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 544 к § 21

§ 21. Формула корней квадратного уравнения · тема: Формула корней квадратного уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение (x² − 1)/2 − 11x = 11.

Решение

Умножим обе части на 2: $$x^2 - 1 - 22x = 22$$ , откуда $$x^2 - 22x - 23 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -22$$ , $$c = -23$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -11$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 1 \cdot (-23) = 121 + 23 = 144,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = 11 \pm 12.

$$x_1 = 11 - 12 = -1$$ , $$x_2 = 11 + 12 = 23$$ .

Ответ

−1; 23

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение (x² + x)/2 = (8x − 7)/3.

Решение

Умножим обе части на 6: $$3(x^2 + x) = 2(8x - 7)$$ , то есть $$3x^2 + 3x = 16x - 14$$ , откуда $$3x^2 - 13x + 14 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 3$$ , $$b = -13$$ , $$c = 14$$ .

D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{13 \pm 1}{6}.

$x_1 = \dfrac{13 - 1}{6} = 2$ , $x_2 = \dfrac{13 + 1}{6} = \dfrac{7}{3} = 2\dfrac{1}{3}$ .

Ответ

2; 2 1/3

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение (4x² − 1)/3 = x(10x − 9).

Решение

Умножим обе части на 3: $$4x^2 - 1 = 3x(10x - 9) = 30x^2 - 27x$$ , откуда $$26x^2 - 27x + 1 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 26$$ , $$b = -27$$ , $$c = 1$$ .

D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 26 \cdot 1 = 729 - 104 = 625,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{27 \pm 25}{52}.

$x_1 = \dfrac{27 - 25}{52} = \dfrac{1}{26}$ , $x_2 = \dfrac{27 + 25}{52} = 1$ .

Ответ

1/26; 1

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение 3/4 x² − 2/5 x = 4/5 x² + 3/4.

Решение

Умножим обе части на 20: $$15x^2 - 8x = 16x^2 + 15$$ , откуда $$x^2 + 8x + 15 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = 8$$ , $$c = 15$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = 4$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = 4^2 - 1 \cdot 15 = 16 - 15 = 1,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = -4 \pm 1.

$$x_1 = -4 - 1 = -5$$ , $$x_2 = -4 + 1 = -3$$ .

Ответ

−5; −3

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки