Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 545 к § 21

§ 21. Формула корней квадратного уравнения · тема: Формула корней квадратного уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти корни уравнения и их приближённые значения с точностью до 0,01: 5x² − x − 1 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 5$$ , $$b = -1$$ , $$c = -1$$ .

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 1 + 20 = 21,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{1 \pm \sqrt{21}}{10}.

Вычислим приближённо: $x_1 \approx -0{,}3583 \approx -0{,}36$ , $x_2 \approx 0{,}5583 \approx 0{,}56$ .

Ответ

x₁ ≈ −0,36, x₂ ≈ 0,56 (точно (1 ± √21)/10)

Почему так

Корни находят по формуле, затем округляют до сотых по цифре тысячных.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти корни уравнения и их приближённые значения с точностью до 0,01: 2x² + 7x + 4 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 2$$ , $$b = 7$$ , $$c = 4$$ .

D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 - 32 = 17,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-7 \pm \sqrt{17}}{4}.

Вычислим приближённо: $x_1 \approx -2{,}7808 \approx -2{,}78$ , $x_2 \approx -0{,}7192 \approx -0{,}72$ .

Ответ

x₁ ≈ −2,78, x₂ ≈ −0,72 (точно (−7 ± √17)/4)

Почему так

Корни находят по формуле, затем округляют до сотых по цифре тысячных.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти корни уравнения и их приближённые значения с точностью до 0,01: 3(y² − 2) − y = 0.

Решение

Раскроем скобки: $$3y^2 - y - 6 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 3$$ , $$b = -1$$ , $$c = -6$$ .

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 1 + 72 = 73,\quad D > 0.

y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{1 \pm \sqrt{73}}{6}.

Вычислим приближённо: $y_1 \approx -1{,}2573 \approx -1{,}26$ , $y_2 \approx 1{,}5907 \approx 1{,}59$ .

Ответ

y₁ ≈ −1,26, y₂ ≈ 1,59 (точно (1 ± √73)/6)

Почему так

Корни находят по формуле, затем округляют до сотых по цифре тысячных.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти корни уравнения и их приближённые значения с точностью до 0,01: y² + 8(y − 1) = 3.

Решение

Раскроем скобки и перенесём 3 влево: $$y^2 + 8y - 8 - 3 = 0$$ , то есть $$y^2 + 8y - 11 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = 8$$ , $$c = -11$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = 4$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = 4^2 - 1 \cdot (-11) = 16 + 11 = 27,\quad D_1 > 0.

y_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = -4 \pm \sqrt{27}.

Так как $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ , то

y_{1,2} = -4 \pm 3\sqrt{3}.

Вычислим приближённо: $y_1 \approx -9{,}1962 \approx -9{,}20$ , $y_2 \approx 1{,}1962 \approx 1{,}20$ .

Ответ

y₁ ≈ −9,20, y₂ ≈ 1,20 (точно −4 ± 3√3)

Почему так

Корни находят по формуле, затем округляют до сотых по цифре тысячных.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки