Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 546 к § 21

§ 21. Формула корней квадратного уравнения · тема: Формула корней квадратного уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить графически уравнение x² − 2x − 1 = 0, затем сравнить с корнями по формуле (работа в парах).

Решение

Удобно перенести линейную часть вправо: $$x^2 = 2x + 1$$ . Тогда корни — абсциссы точек пересечения параболы $$y = x^2$$ и прямой $$y = 2x + 1$$ .

Точки параболы: $$(-3; 9)$$ , $$(-2; 4)$$ , $$(-1; 1)$$ , $$(0; 0)$$ , $$(1; 1)$$ , $$(2; 4)$$ , $$(3; 9)$$ . Точки прямой: $$(0; 1)$$ и $$(2; 5)$$ .

По графику точки пересечения имеют абсциссы около $$-0{,}4$$ и $$2{,}4$$ .

Проверка по формуле корней.

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -2$$ , $$c = -1$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -1$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-1)^2 - 1 \cdot (-1) = 1 + 1 = 2,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = 1 \pm \sqrt{2}.

$x_1 \approx -0{,}41$ , $x_2 \approx 2{,}41$ — графические значения совпадают с точными с точностью до десятых.

Ответ

x ≈ −0,4; x ≈ 2,4 (точно 1 ± √2)

Почему так

Корни уравнения x² = kx + b — абсциссы точек пересечения параболы y = x² и прямой y = kx + b.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить графически уравнение x² − 4x + 2 = 0, затем сравнить с корнями по формуле (работа в парах).

Решение

Удобно перенести линейную часть вправо: $$x^2 = 4x - 2$$ . Тогда корни — абсциссы точек пересечения параболы $$y = x^2$$ и прямой $$y = 4x - 2$$ .

Точки параболы: $$(-3; 9)$$ , $$(-2; 4)$$ , $$(-1; 1)$$ , $$(0; 0)$$ , $$(1; 1)$$ , $$(2; 4)$$ , $$(3; 9)$$ . Точки прямой: $$(0; -2)$$ и $$(2; 6)$$ .

По графику точки пересечения имеют абсциссы около $$0{,}6$$ и $$3{,}4$$ .

Проверка по формуле корней.

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -4$$ , $$c = 2$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -2$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-2)^2 - 1 \cdot 2 = 4 - 2 = 2,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = 2 \pm \sqrt{2}.

$x_1 \approx 0{,}59$ , $x_2 \approx 3{,}41$ — графические значения совпадают с точными с точностью до десятых.