Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 549 к § 21

§ 21. Формула корней квадратного уравнения · тема: Формула корней квадратного уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение 0,7x² = 1,3x + 2.

Решение

Перенесём всё влево и умножим на 10: $$7x^2 - 13x - 20 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 7$$ , $$b = -13$$ , $$c = -20$$ .

D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-20) = 169 + 560 = 729,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{13 \pm 27}{14}.

$x_1 = \dfrac{13 - 27}{14} = -1$ , $x_2 = \dfrac{13 + 27}{14} = \dfrac{20}{7} = 2\dfrac{6}{7}$ .

Ответ

−1; 2 6/7

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение 7 = 0,4y + 1/5 y².

Решение

Умножим обе части на 5: $$35 = 2y + y^2$$ , откуда $$y^2 + 2y - 35 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = 2$$ , $$c = -35$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = 1$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = 1^2 - 1 \cdot (-35) = 1 + 35 = 36,\quad D_1 > 0.

y_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = -1 \pm 6.

$$y_1 = -1 - 6 = -7$$ , $$y_2 = -1 + 6 = 5$$ .

Ответ

−7; 5

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение x² − 1,6x − 0,36 = 0.

Решение

Умножим обе части на 25, чтобы коэффициенты стали целыми: $$25x^2 - 40x - 9 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 25$$ , $$b = -40$$ , $$c = -9$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -20$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-20)^2 - 25 \cdot (-9) = 400 + 225 = 625,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{20 \pm 25}{25}.

$x_1 = \dfrac{20 - 25}{25} = -\dfrac{1}{5} = -0{,}2$ , $x_2 = \dfrac{20 + 25}{25} = \dfrac{9}{5} = 1{,}8$ .

Ответ

−0,2; 1,8

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение z² − 2z + 2,91 = 0.

Решение

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -2$$ , $$c = 2{,}91$$ . Второй коэффициент чётный, $$k = -1$$ .

D_1 = k^2 - ac = (-1)^2 - 1 \cdot 2{,}91 = 1 - 2{,}91 = -1{,}91,\quad D_1 < 0.

Дискриминант отрицателен, поэтому уравнение корней не имеет.

Ответ

Корней нет

Почему так

При отрицательном дискриминанте квадратное уравнение корней не имеет.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить уравнение 0,2y² − 10y + 125 = 0.

Решение

Умножим обе части на 5: $$y^2 - 50y + 625 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -50$$ , $$c = 625$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -25$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-25)^2 - 1 \cdot 625 = 625 - 625 = 0.

Дискриминант равен нулю — уравнение имеет один корень:

\[y = -k = 25.\]

Ответ

Почему так

При D = 0 квадратное уравнение имеет один корень x = −b/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить уравнение 1/3 x² + 2x − 9 = 0.

Решение

Умножим обе части на 3: $$x^2 + 6x - 27 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = 6$$ , $$c = -27$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = 3$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = 3^2 - 1 \cdot (-27) = 9 + 27 = 36,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1} = -3 \pm 6.

$$x_1 = -3 - 6 = -9$$ , $$x_2 = -3 + 6 = 3$$ .

Ответ

−9; 3

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки