Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 550 к § 21

§ 21. Формула корней квадратного уравнения · тема: Формула корней квадратного уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) При каких x верно равенство 1/7 x² = 2x − 7?

Решение

Умножим обе части на 7 и перенесём всё влево: $$x^2 - 14x + 49 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -14$$ , $$c = 49$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -7$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-7)^2 - 1 \cdot 49 = 49 - 49 = 0.

Дискриминант равен нулю — уравнение имеет один корень:

\[x = -k = 7.\]

Ответ

При x = 7

Почему так

При D = 0 квадратное уравнение имеет один корень x = −b/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) При каких x верно равенство x² + 6/5 = 2,6x?

Решение

Умножим обе части на 5: $$5x^2 + 6 = 13x$$ , откуда $$5x^2 - 13x + 6 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 5$$ , $$b = -13$$ , $$c = 6$$ .

D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 - 120 = 49,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{13 \pm 7}{10}.

$x_1 = \dfrac{13 - 7}{10} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$ , $x_2 = \dfrac{13 + 7}{10} = 2$ .

Ответ

При x = 0,6 и x = 2

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) При каких x верно равенство 4x² = 7x + 7,5?

Решение

Умножим обе части на 2 и перенесём всё влево: $$8x^2 - 14x - 15 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 8$$ , $$b = -14$$ , $$c = -15$$ .

Второй коэффициент чётный, $k = \dfrac{b}{2} = -7$ . Применим формулу (II).

D_1 = k^2 - ac = (-7)^2 - 8 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169,\quad D_1 > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{7 \pm 13}{8}.

$x_1 = \dfrac{7 - 13}{8} = -\dfrac{3}{4} = -0{,}75$ , $x_2 = \dfrac{7 + 13}{8} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$ .

Ответ

При x = −0,75 и x = 2,5

Почему так

При чётном втором коэффициенте b = 2k удобна формула x = (−k ± √D₁)/a, где D₁ = k² − ac.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) При каких x верно равенство 6x² − 2 = x?

Решение

Перенесём всё влево: $$6x^2 - x - 2 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 6$$ , $$b = -1$$ , $$c = -2$$ .

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{1 \pm 7}{12}.

$x_1 = \dfrac{1 - 7}{12} = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5$ , $x_2 = \dfrac{1 + 7}{12} = \dfrac{2}{3}$ .

Ответ

При x = −0,5 и x = 2/3

Почему так

При D > 0 квадратное уравнение имеет два корня x = (−b ± √D)/(2a).

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки