Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 551 к § 21

Задача 1

Условие (кратко)

а) Существует ли a, при котором верно равенство 3a + 0,6 = 9a² + 0,36? Если да, найти его.

Решение

Перенесём всё в правую часть: $9a^2 - 3a + 0{,}36 - 0{,}6 = 0$ , то есть $9a^2 - 3a - 0{,}24 = 0$ .

Умножим на 100 и разделим на 12: $$900a^2 - 300a - 24 = 0$$ , $$75a^2 - 25a - 2 = 0$$ .

Здесь переменная — $$a$$ , поэтому коэффициенты обозначим $$A = 75$$ , $$B = -25$$ , $$C = -2$$ .

D = B^2 - 4AC = (-25)^2 - 4 \cdot 75 \cdot (-2) = 625 + 600 = 1225,\quad D > 0.

a_{1,2} = \dfrac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \dfrac{25 \pm 35}{150}.

$a_1 = \dfrac{25 - 35}{150} = -\dfrac{1}{15}$ , $a_2 = \dfrac{25 + 35}{150} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$ .

Корни есть, значит, такие значения $$a$$ существуют.

Ответ

Существует: a = −1/15 или a = 0,4

Почему так

Вопрос сводится к квадратному уравнению относительно a: значения существуют, если D ≥ 0.

Условие (кратко)

б) Существует ли a, при котором верно равенство 0,4a + 1,2 = 0,16a² + 1,44? Если да, найти его.

Решение

Перенесём всё в правую часть: $0{,}16a^2 - 0{,}4a + 1{,}44 - 1{,}2 = 0$ , то есть $0{,}16a^2 - 0{,}4a + 0{,}24 = 0$ .

Умножим на 25 и разделим на 2: $$4a^2 - 10a + 6 = 0$$ , $$2a^2 - 5a + 3 = 0$$ .

Здесь переменная — $$a$$ , поэтому коэффициенты обозначим $$A = 2$$ , $$B = -5$$ , $$C = 3$$ .

D = B^2 - 4AC = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1,\quad D > 0.

a_{1,2} = \dfrac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \dfrac{5 \pm 1}{4}.

$a_1 = \dfrac{5 - 1}{4} = 1$ , $a_2 = \dfrac{5 + 1}{4} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ .

Корни есть, значит, такие значения $$a$$ существуют.

Ответ

Существует: a = 1 или a = 1,5

Почему так

Вопрос сводится к квадратному уравнению относительно a: значения существуют, если D ≥ 0.