Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 552 к § 21

§ 21. Формула корней квадратного уравнения · тема: Формула корней квадратного уравнения

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнения x² − 5x + 6 = 0 и 6x² − 5x + 1 = 0 (задача-исследование).

Решение

Уравнение $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 1$$ , $$b = -5$$ , $$c = 6$$ .

D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{5 \pm 1}{2}.

$x_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ , $x_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$ .

Уравнение $$6x^2 - 5x + 1 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 6$$ , $$b = -5$$ , $$c = 1$$ .

D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{5 \pm 1}{12}.

$x_1 = \dfrac{5 - 1}{12} = \dfrac{1}{3}$ , $x_2 = \dfrac{5 + 1}{12} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$ .

Корни второго уравнения — числа, обратные корням первого.

Ответ

2; 3 и 1/3; 0,5

Почему так

Коэффициенты a и c в уравнениях поменялись местами — корни стали обратными числами.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнения 2x² − 13x + 6 = 0 и 6x² − 13x + 2 = 0 (задача-исследование).

Решение

Уравнение $$2x^2 - 13x + 6 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 2$$ , $$b = -13$$ , $$c = 6$$ .

D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{13 \pm 11}{4}.

$x_1 = \dfrac{13 - 11}{4} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$ , $x_2 = \dfrac{13 + 11}{4} = 6$ .

Уравнение $$6x^2 - 13x + 2 = 0$$ .

Коэффициенты: $$a = 6$$ , $$b = -13$$ , $$c = 2$$ .

D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 169 - 48 = 121,\quad D > 0.

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{13 \pm 11}{12}.

$x_1 = \dfrac{13 - 11}{12} = \dfrac{1}{6}$ , $x_2 = \dfrac{13 + 11}{12} = 2$ .

Корни второго уравнения — числа, обратные корням первого.

Ответ

0,5; 6 и 1/6; 2

Почему так

Коэффициенты a и c в уравнениях поменялись местами — корни стали обратными числами.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

Высказать и доказать предположение о связи корней уравнений ax² + bx + c = 0 и cx² + bx + a = 0 (задача-исследование).

Решение

Предположение. Если $a \ne 0$ и $c \ne 0$ , то корни уравнения $$cx^2 + bx + a = 0$$ — числа, обратные корням уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$ .

Доказательство. Пусть $$x_0$$ — корень уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$ , то есть $$ax_0^2 + bx_0 + c = 0$$ . Так как $c \ne 0$ , то $x_0 \ne 0$ (иначе получилось бы $$c = 0$$ ). Разделим равенство на $$x_0^2$$ :

a + b \cdot \dfrac{1}{x_0} + c \cdot \dfrac{1}{x_0^2} = 0, \quad\text{то есть}\quad c\left(\dfrac{1}{x_0}\right)^2 + b \cdot \dfrac{1}{x_0} + a = 0.

Значит, $\dfrac{1}{x_0}$ — корень уравнения $$cx^2 + bx + a = 0$$ . Так же каждый корень второго уравнения даёт обратный ему корень первого. Кроме того, дискриминанты уравнений одинаковы: $$b^2 - 4ac = b^2 - 4ca$$ , поэтому и число корней одно и то же.

Ответ

Корни уравнений взаимно обратны (при a ≠ 0, c ≠ 0)

Почему так

Если x₀ — корень ax² + bx + c = 0 и x₀ ≠ 0, то деление на x₀² показывает, что 1/x₀ — корень cx² + bx + a = 0.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки