Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 553 к § 21

Задача 1

Условие (кратко)

а) Существует ли a, при котором уравнение x² − ax + a − 4 = 0 не имеет корней?

Решение

Найдём дискриминант уравнения $$x^2 - ax + a - 4 = 0$$ (здесь $$a$$ — параметр):

D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 4) = a^2 - 4a + 16 = (a^2 - 4a + 4) + 12 = (a - 2)^2 + 12.

Так как $(a - 2)^2 \ge 0$ , то $D \ge 12 > 0$ при любом $$a$$ .

Дискриминант всегда положителен, поэтому уравнение всегда имеет два корня. Значения $$a$$ , при котором корней нет, не существует.

Ответ

Не существует

Почему так

Дискриминант (a − 2)² + 12 положителен при любом a.

Условие (кратко)

б) Существует ли a, при котором уравнение x² − ax + a − 4 = 0 имеет один корень?

Решение

Найдём дискриминант уравнения $$x^2 - ax + a - 4 = 0$$ (здесь $$a$$ — параметр):

D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 4) = a^2 - 4a + 16 = (a^2 - 4a + 4) + 12 = (a - 2)^2 + 12.

Так как $(a - 2)^2 \ge 0$ , то $D \ge 12 > 0$ при любом $$a$$ .

Для одного корня нужно $$D = 0$$ , но $D \ge 12$ . Такого значения $$a$$ не существует.

Ответ

Не существует

Почему так

Один корень бывает только при D = 0, а здесь D ≥ 12.

Условие (кратко)

в) Существует ли a, при котором уравнение x² − ax + a − 4 = 0 имеет два корня?

Решение

Найдём дискриминант уравнения $$x^2 - ax + a - 4 = 0$$ (здесь $$a$$ — параметр):

D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 4) = a^2 - 4a + 16 = (a^2 - 4a + 4) + 12 = (a - 2)^2 + 12.

Так как $(a - 2)^2 \ge 0$ , то $D \ge 12 > 0$ при любом $$a$$ .

Поэтому уравнение имеет два корня при любом значении $$a$$ . Например, при $$a = 2$$ : $$x^2 - 2x - 2 = 0$$ , $x = 1 \pm \sqrt{3}$ .

Ответ

Да, при любом a

Почему так

Дискриминант (a − 2)² + 12 положителен при любом a, значит, корней всегда два.