Задача 1
Условие (кратко)
От листа картона длиной 26 см отрезали с двух сторон квадраты со стороной, равной ширине листа. Осталось 80 см². Найти ширину листа; показать, что решений два, сделать чертежи в масштабе 1 : 2.
Решение
Дано
- длина листа 26 см
- сторона каждого квадрата равна ширине
- остаток 80 см²
Найти
- ширину листа
Пусть ширина листа \(x\) см. С двух концов отрезали квадраты \(x \times x\), осталась полоса шириной \(x\) см и длиной \((26 - 2x)\) см:
\[x(26 - 2x) = 80, \qquad 2x^2 - 26x + 80 = 0, \qquad x^2 - 13x + 40 = 0.\]
\[D = 169 - 160 = 9, \qquad x_1 = \dfrac{13 - 3}{2} = 5, \qquad x_2 = \dfrac{13 + 3}{2} = 8.\]
Оба корня подходят: длина остатка положительна (\(26 - 10 = 16\) см и \(26 - 16 = 10\) см).
- Ширина 5 см: лист \(26 \times 5\) см, остаток \(16 \times 5\) см, \(16 \cdot 5 = 80\) см². На чертеже в масштабе 1 : 2 — прямоугольник 13 см на 2,5 см, от концов отчерчены квадраты со стороной 2,5 см.
- Ширина 8 см: лист \(26 \times 8\) см, остаток \(10 \times 8\) см, \(10 \cdot 8 = 80\) см². На чертеже — прямоугольник 13 см на 4 см, от концов отчерчены квадраты со стороной 4 см.
Ответ
5 см или 8 см
Почему так
Длина остатка равна 26 − 2x; квадратное уравнение имеет два положительных корня, и оба удовлетворяют условию.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений».