Задача 1
Условие (кратко)
В прямоугольном треугольнике один катет на 3 см меньше гипотенузы, другой — на 6 см. Найти гипотенузу.
Решение
Дано
- катеты на 3 см и на 6 см меньше гипотенузы
Найти
- гипотенузу
Пусть гипотенуза \(x\) см, катеты \((x - 3)\) и \((x - 6)\) см. По теореме Пифагора
\[(x - 3)^2 + (x - 6)^2 = x^2,\]
\[x^2 - 6x + 9 + x^2 - 12x + 36 - x^2 = 0, \qquad x^2 - 18x + 45 = 0.\]
\[D = 324 - 180 = 144, \qquad x_1 = \dfrac{18 - 12}{2} = 3, \qquad x_2 = \dfrac{18 + 12}{2} = 15.\]
При \(x = 3\) катеты были бы 0 см и \(-3\) см — так не бывает. Остаётся \(x = 15\): катеты 12 см и 9 см, \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\).
Ответ
15 см
Почему так
Теорема Пифагора даёт квадратное уравнение; корень, при котором катет не положителен, отбрасываем.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений».