Задача 1
Условие (кратко)
Старинная задача: квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте, одна обезьяна сидит на дереве. Сколько было обезьян?
Решение
Дано
- в гроте \(\left(\dfrac{x}{5} - 3\right)^2\) обезьян
- на дереве 1
Найти
- число обезьян \(x\)
\[\left(\dfrac{x}{5} - 3\right)^2 + 1 = x, \qquad \dfrac{x^2}{25} - \dfrac{6x}{5} + 9 + 1 = x.\]
Умножим на 25:
\[x^2 - 30x + 250 = 25x, \qquad x^2 - 55x + 250 = 0.\]
\[D = 3025 - 1000 = 2025 = 45^2, \qquad x_1 = \dfrac{55 - 45}{2} = 5, \qquad x_2 = \dfrac{55 + 45}{2} = 50.\]
При \(x = 5\) «пятая часть, уменьшенная на 3» равна \(1 - 3 = -2\) — отрицательного числа обезьян не бывает, хотя уравнение формально выполняется. При \(x = 50\): \(\dfrac{50}{5} - 3 = 7\), \(7^2 + 1 = 50\) — подходит.
Ответ
50 обезьян
Почему так
Корень 5 удовлетворяет уравнению, но не смыслу задачи — промежуточная величина получается отрицательной.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений».