Задача 1
Условие (кратко)
Число диагоналей выпуклого n-угольника p = n(n − 3)/2. В каком многоугольнике диагоналей на 25 больше, чем сторон?
Решение
Дано
- \(p = \dfrac{n(n - 3)}{2}\)
- \(p = n + 25\)
Найти
- \(n\)
\[\dfrac{n(n - 3)}{2} = n + 25, \qquad n^2 - 3n = 2n + 50, \qquad n^2 - 5n - 50 = 0.\]
\[D = 25 + 200 = 225, \qquad n_1 = \dfrac{5 - 15}{2} = -5, \qquad n_2 = \dfrac{5 + 15}{2} = 10.\]
Число сторон — натуральное, не меньше 3: \(n = 10\). Проверка: \(\dfrac{10 \cdot 7}{2} = 35 = 10 + 25\).
Ответ
В десятиугольнике
Почему так
Подставляем формулу числа диагоналей в условие и берём натуральный корень.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений».