Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 23

Упражнение 578 к § 23

§ 23. Теорема Виета · тема: Теорема Виета

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти сумму и произведение корней уравнения x² − 37x + 27 = 0.

Решение

Сначала убеждаемся, что корни есть: $D = 37^2 - 4 \cdot 27 = 1369 - 108 = 1261 > 0$ .

Уравнение приведённое, $$p = -37$$ , $$q = 27$$ . По теореме Виета сумма корней равна $$-p$$ , произведение равно $$q$$ :

x_1 + x_2 = 37, \qquad x_1 x_2 = 27.

Ответ

x₁ + x₂ = 37; x₁x₂ = 27

Почему так

Теорема Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a; применять её можно, только если D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти сумму и произведение корней уравнения y² + 41y − 371 = 0.

Решение

Сначала убеждаемся, что корни есть: $D = 41^2 + 4 \cdot 371 > 0$ .

Уравнение приведённое, $$p = 41$$ , $$q = -371$$ . По теореме Виета сумма корней равна $$-p$$ , произведение равно $$q$$ :

y_1 + y_2 = -41, \qquad y_1 y_2 = -371.

Ответ

y₁ + y₂ = −41; y₁y₂ = −371

Почему так

Теорема Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a; применять её можно, только если D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти сумму и произведение корней уравнения x² − 210x = 0.

Решение

Сначала убеждаемся, что корни есть: $D = 210^2 - 4 \cdot 0 = 44\,100 > 0$ .

Уравнение приведённое, $$p = -210$$ , $$q = 0$$ . По теореме Виета сумма корней равна $$-p$$ , произведение равно $$q$$ :

x_1 + x_2 = 210, \qquad x_1 x_2 = 0.

Ответ

x₁ + x₂ = 210; x₁x₂ = 0

Почему так

Теорема Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a; применять её можно, только если D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти сумму и произведение корней уравнения y² − 19 = 0.

Решение

Сначала убеждаемся, что корни есть: $D = 0^2 - 4 \cdot (-19) = 76 > 0$ .

Уравнение приведённое, $$p = 0$$ , $$q = -19$$ . По теореме Виета сумма корней равна $$-p$$ , произведение равно $$q$$ :

y_1 + y_2 = 0, \qquad y_1 y_2 = -19.

Ответ

y₁ + y₂ = 0; y₁y₂ = −19

Почему так

Теорема Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a; применять её можно, только если D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Найти сумму и произведение корней уравнения 2x² − 9x − 10 = 0.

Решение

Сначала убеждаемся, что корни есть: $D = 81 + 4 \cdot 2 \cdot 10 = 161 > 0$ .

Здесь $$a = 2$$ , $$b = -9$$ , $$c = -10$$ . Сумма корней равна $-\dfrac{b}{a}$ , произведение равно $\dfrac{c}{a}$ :

x_1 + x_2 = \dfrac{9}{2} = 4{,}5, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{-10}{2} = -5.

Ответ

x₁ + x₂ = 4,5; x₁x₂ = −5

Почему так

Теорема Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a; применять её можно, только если D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Найти сумму и произведение корней уравнения 5x² + 12x + 7 = 0.

Решение

Сначала убеждаемся, что корни есть: $D = 144 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 144 - 140 = 4 > 0$ .

Здесь $$a = 5$$ , $$b = 12$$ , $$c = 7$$ . Сумма корней равна $-\dfrac{b}{a}$ , произведение равно $\dfrac{c}{a}$ :

x_1 + x_2 = -\dfrac{12}{5} = -2{,}4, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{7}{5} = 1{,}4.

Ответ

x₁ + x₂ = −2,4; x₁x₂ = 1,4

Почему так

Теорема Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a; применять её можно, только если D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Найти сумму и произведение корней уравнения −z² + z = 0.

Решение

Сначала убеждаемся, что корни есть: $D = 1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 0 = 1 > 0$ .

Здесь $$a = -1$$ , $$b = 1$$ , $$c = 0$$ . Сумма корней равна $-\dfrac{b}{a}$ , произведение равно $\dfrac{c}{a}$ :

z_1 + z_2 = -\dfrac{1}{-1} = 1, \qquad z_1 z_2 = \dfrac{0}{-1} = 0.

Ответ

z₁ + z₂ = 1; z₁z₂ = 0

Почему так

Теорема Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a; применять её можно, только если D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Найти сумму и произведение корней уравнения 3x² − 10 = 0.

Решение

Сначала убеждаемся, что корни есть: $D = 0^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 120 > 0$ .

Здесь $$a = 3$$ , $$b = 0$$ , $$c = -10$$ . Сумма корней равна $-\dfrac{b}{a}$ , произведение равно $\dfrac{c}{a}$ :

x_1 + x_2 = -\dfrac{0}{3} = 0, \qquad x_1 x_2 = -\dfrac{10}{3} = -3\dfrac{1}{3}.

Ответ

x₁ + x₂ = 0; x₁x₂ = −10/3

Почему так

Теорема Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a; применять её можно, только если D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Похожие задачи для тренировки