Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, § 23, упражнение 579

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение x² − 2x − 9 = 0 и выполнить проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Решение

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$ .

x = \dfrac{2 \pm \sqrt{40}}{2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 1 \pm \sqrt{10}.

Проверка. Уравнение приведённое: $$p = -2$$ , $$q = -9$$ .

(1 - \sqrt{10}) + (1 + \sqrt{10}) = 2 = -p, \qquad (1 - \sqrt{10})(1 + \sqrt{10}) = 1 - 10 = -9 = q.

По теореме, обратной теореме Виета, найденные числа — корни уравнения.

Ответ

x₁ = 1 − √10, x₂ = 1 + √10

Почему так

Корни находят по формуле, а проверяют обратной теоремой Виета: сумма корней приведённого уравнения равна −p, произведение равно q.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение 3t² − 4t − 4 = 0 и выполнить проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Решение

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$ .

t = \dfrac{4 \pm 8}{6}, \qquad t_1 = -\dfrac{2}{3}, \quad t_2 = 2.

Проверка. Разделим уравнение на 3: $t^2 - \dfrac{4}{3}t - \dfrac{4}{3} = 0$ , здесь $p = -\dfrac{4}{3}$ , $q = -\dfrac{4}{3}$ .

-\dfrac{2}{3} + 2 = \dfrac{4}{3} = -p, \qquad -\dfrac{2}{3} \cdot 2 = -\dfrac{4}{3} = q.

Значит, $-\dfrac{2}{3}$ и $$2$$ — корни уравнения.

Ответ

t₁ = −2/3, t₂ = 2

Почему так

Корни находят по формуле, а проверяют обратной теоремой Виета: сумма корней приведённого уравнения равна −p, произведение равно q.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение 2z² + 7z − 6 = 0 и выполнить проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Решение

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49 + 48 = 97$ .

z = \dfrac{-7 \pm \sqrt{97}}{4}.

Проверка. Приведённое уравнение: $z^2 + \dfrac{7}{2}z - 3 = 0$ , $p = \dfrac{7}{2}$ , $$q = -3$$ .

\dfrac{-7 - \sqrt{97}}{4} + \dfrac{-7 + \sqrt{97}}{4} = -\dfrac{14}{4} = -\dfrac{7}{2} = -p,

\dfrac{-7 - \sqrt{97}}{4} \cdot \dfrac{-7 + \sqrt{97}}{4} = \dfrac{49 - 97}{16} = -\dfrac{48}{16} = -3 = q.

Корни найдены верно.

Ответ

z₁ = (−7 − √97)/4, z₂ = (−7 + √97)/4

Почему так

Корни находят по формуле, а проверяют обратной теоремой Виета: сумма корней приведённого уравнения равна −p, произведение равно q.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение 2t² + 9t + 8 = 0 и выполнить проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Решение

$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 81 - 64 = 17$ .

t = \dfrac{-9 \pm \sqrt{17}}{4}.

Проверка. Приведённое уравнение: $t^2 + \dfrac{9}{2}t + 4 = 0$ , $p = \dfrac{9}{2}$ , $$q = 4$$ .

\dfrac{-9 - \sqrt{17}}{4} + \dfrac{-9 + \sqrt{17}}{4} = -\dfrac{18}{4} = -\dfrac{9}{2} = -p,

\dfrac{-9 - \sqrt{17}}{4} \cdot \dfrac{-9 + \sqrt{17}}{4} = \dfrac{81 - 17}{16} = \dfrac{64}{16} = 4 = q.

Корни найдены верно.

Ответ

t₁ = (−9 − √17)/4, t₂ = (−9 + √17)/4

Почему так

Корни находят по формуле, а проверяют обратной теоремой Виета: сумма корней приведённого уравнения равна −p, произведение равно q.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Упражнение 579 к § 23

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки