Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 23

Упражнение 580 к § 23

§ 23. Теорема Виета · тема: Теорема Виета

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти корни уравнения x² − 15x − 16 = 0 и выполнить проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Решение

$$D = 225 + 64 = 289 = 17^2$$ .

x = \dfrac{15 \pm 17}{2}, \qquad x_1 = -1, \quad x_2 = 16.

Проверка. $$p = -15$$ , $$q = -16$$ , поэтому $$-1 + 16 = 15 = -p$$ , $(-1) \cdot 16 = -16 = q$ . Корни найдены верно.

Ответ

x₁ = −1, x₂ = 16

Почему так

Числа с суммой −p и произведением q — корни уравнения x² + px + q = 0 (обратная теорема Виета).

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти корни уравнения m² − 6m − 11 = 0 и выполнить проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Решение

Второй коэффициент чётный: $\dfrac{D}{4} = 3^2 + 11 = 20$ .

m = 3 \pm \sqrt{20} = 3 \pm 2\sqrt{5}.

Проверка. $$p = -6$$ , $$q = -11$$ :

(3 - 2\sqrt{5}) + (3 + 2\sqrt{5}) = 6 = -p, \qquad (3 - 2\sqrt{5})(3 + 2\sqrt{5}) = 9 - 20 = -11 = q.

Корни найдены верно.

Ответ

m₁ = 3 − 2√5, m₂ = 3 + 2√5

Почему так

Числа с суммой −p и произведением q — корни уравнения x² + px + q = 0 (обратная теорема Виета).

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти корни уравнения 12x² − 4x − 1 = 0 и выполнить проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Решение

$\dfrac{D}{4} = 2^2 + 12 = 16$ .

x = \dfrac{2 \pm 4}{12}, \qquad x_1 = -\dfrac{1}{6}, \quad x_2 = \dfrac{1}{2}.

Проверка. Приведённое уравнение: $x^2 - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{12} = 0$ .

-\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} = -p, \qquad -\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{12} = q.

Корни найдены верно.

Ответ

x₁ = −1/6, x₂ = 1/2

Почему так

Числа с суммой −p и произведением q — корни уравнения x² + px + q = 0 (обратная теорема Виета).

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти корни уравнения t² − 6 = 0 и выполнить проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Решение

$$t^2 = 6$$ , $t = \pm\sqrt{6}$ .

Проверка. Здесь $$p = 0$$ , $$q = -6$$ , поэтому $-\sqrt{6} + \sqrt{6} = 0 = -p$ , $-\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = -6 = q$ . Корни найдены верно.

Ответ

t₁ = −√6, t₂ = √6

Почему так

Числа с суммой −p и произведением q — корни уравнения x² + px + q = 0 (обратная теорема Виета).

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Найти корни уравнения 5x² − 18x = 0 и выполнить проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Решение

$$x(5x - 18) = 0$$ , откуда $$x_1 = 0$$ , $x_2 = \dfrac{18}{5} = 3{,}6$ .

Проверка. Приведённое уравнение: $x^2 - 3{,}6x = 0$ , $$p = -3{,}6$$ , $$q = 0$$ . Сумма $$0 + 3{,}6 = 3{,}6 = -p$$ , произведение $0 \cdot 3{,}6 = 0 = q$ . Корни найдены верно.

Ответ

x₁ = 0, x₂ = 3,6

Почему так

Числа с суммой −p и произведением q — корни уравнения x² + px + q = 0 (обратная теорема Виета).

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Найти корни уравнения 2y² − 41 = 0 и выполнить проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Решение

$y^2 = \dfrac{41}{2}$ , $y = \pm\sqrt{\dfrac{41}{2}} = \pm\dfrac{\sqrt{82}}{2}$ .

Проверка. Приведённое уравнение: $y^2 - \dfrac{41}{2} = 0$ , $$p = 0$$ , $q = -\dfrac{41}{2}$ .

-\dfrac{\sqrt{82}}{2} + \dfrac{\sqrt{82}}{2} = 0 = -p, \qquad -\dfrac{\sqrt{82}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{82}}{2} = -\dfrac{82}{4} = -\dfrac{41}{2} = q.

Корни найдены верно.

Ответ

y₁ = −√82/2, y₂ = √82/2

Почему так

Числа с суммой −p и произведением q — корни уравнения x² + px + q = 0 (обратная теорема Виета).

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки