Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 23

Упражнение 581 к § 23

§ 23. Теорема Виета · тема: Теорема Виета

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти подбором корни уравнения x² − 9x + 20 = 0.

Решение

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни. По теореме Виета $$x_1 + x_2 = 9$$ , $$x_1 x_2 = 20$$ .

Произведение $$20$$ положительно — корни одного знака; сумма $$9$$ положительна — оба положительны. Разложения $$20$$ — это $1 \cdot 20$ , $2 \cdot 10$ , $4 \cdot 5$ ; сумму $$9$$ даёт только $$4 + 5$$ .

Проверка: $$4 + 5 = 9$$ , $4 \cdot 5 = 20$ . По теореме, обратной теореме Виета, числа $$4$$ и $$5$$ — корни уравнения.

Ответ

x₁ = 4, x₂ = 5

Почему так

Подбор опирается на теорему Виета: ищем два числа с суммой −p и произведением q.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти подбором корни уравнения y² + 11y − 12 = 0.

Решение

Пусть $$y_1$$ и $$y_2$$ — корни. По теореме Виета $$y_1 + y_2 = -11$$ , $$y_1 y_2 = -12$$ .

Произведение $$-12$$ отрицательно — корни разных знаков; сумма $$-11$$ — больший по модулю корень отрицателен. Из пар $$12$$ и $$1$$ , $$6$$ и $$2$$ , $$4$$ и $$3$$ разность $$11$$ даёт только $$12$$ и $$1$$ .

Проверка: $$-12 + 1 = -11$$ , $-12 \cdot 1 = -12$ . По теореме, обратной теореме Виета, числа $$-12$$ и $$1$$ — корни уравнения.

Ответ

y₁ = −12, y₂ = 1

Почему так

Подбор опирается на теорему Виета: ищем два числа с суммой −p и произведением q.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти подбором корни уравнения y² + y − 56 = 0.

Решение

Пусть $$y_1$$ и $$y_2$$ — корни. По теореме Виета $$y_1 + y_2 = -1$$ , $$y_1 y_2 = -56$$ .

Произведение $$-56$$ отрицательно — корни разных знаков; сумма $$-1$$ — больший по модулю корень отрицателен и он на 1 больше другого по модулю: $56 = 8 \cdot 7$ .

Проверка: $$-8 + 7 = -1$$ , $-8 \cdot 7 = -56$ . По теореме, обратной теореме Виета, числа $$-8$$ и $$7$$ — корни уравнения.

Ответ

y₁ = −8, y₂ = 7

Почему так

Подбор опирается на теорему Виета: ищем два числа с суммой −p и произведением q.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти подбором корни уравнения z² − 19z + 88 = 0.

Решение

Пусть $$z_1$$ и $$z_2$$ — корни. По теореме Виета $$z_1 + z_2 = 19$$ , $$z_1 z_2 = 88$$ .

Произведение $$88$$ и сумма $$19$$ положительны — оба корня положительны. Разложения $$88$$ — это $1 \cdot 88$ , $2 \cdot 44$ , $4 \cdot 22$ , $8 \cdot 11$ ; сумму $$19$$ даёт $$8 + 11$$ .

Проверка: $$8 + 11 = 19$$ , $8 \cdot 11 = 88$ . По теореме, обратной теореме Виета, числа $$8$$ и $$11$$ — корни уравнения.

Ответ

z₁ = 8, z₂ = 11

Почему так

Подбор опирается на теорему Виета: ищем два числа с суммой −p и произведением q.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки