Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 23

Упражнение 582 к § 23

§ 23. Теорема Виета · тема: Теорема Виета

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти подбором корни уравнения x² + 16x + 63 = 0.

Решение

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни. По теореме Виета $$x_1 + x_2 = -16$$ , $$x_1 x_2 = 63$$ .

Произведение $$63$$ положительно, сумма $$-16$$ отрицательна — оба корня отрицательны. Разложения $$63$$ — это $1 \cdot 63$ , $3 \cdot 21$ , $7 \cdot 9$ ; сумму $$16$$ дают $$7$$ и $$9$$ , значит, корни $$-9$$ и $$-7$$ .

Проверка: $$-9 + (-7) = -16$$ , $-9 \cdot (-7) = 63$ . По теореме, обратной теореме Виета, числа $$-9$$ и $$-7$$ — корни уравнения.

Ответ

x₁ = −9, x₂ = −7

Почему так

Подбор опирается на теорему Виета: ищем два числа с суммой −p и произведением q.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти подбором корни уравнения z² + 2z − 48 = 0.

Решение

Пусть $$z_1$$ и $$z_2$$ — корни. По теореме Виета $$z_1 + z_2 = -2$$ , $$z_1 z_2 = -48$$ .

Произведение $$-48$$ отрицательно — корни разных знаков; сумма $$-2$$ — отрицательный корень больше по модулю на 2. Из разложений $$48$$ разность 2 даёт $8 \cdot 6$ .

Проверка: $$-8 + 6 = -2$$ , $-8 \cdot 6 = -48$ . По теореме, обратной теореме Виета, числа $$-8$$ и $$6$$ — корни уравнения.