Задача 1
Условие (кратко)
Разность квадратов корней уравнения x² + 2x + q = 0 равна 12. Найти q.
Решение
Дано
- \(x^2 + 2x + q = 0\)
- \(x_1^2 - x_2^2 = 12\)
Найти
- \(q\)
По теореме Виета \(x_1 + x_2 = -2\). Разложим разность квадратов:
\[x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = -2(x_1 - x_2) = 12, \quad x_1 - x_2 = -6.\]
\[2x_1 = -2 + (-6) = -8, \quad x_1 = -4; \qquad x_2 = -2 - (-4) = 2.\]
\(q = x_1 x_2 = -4 \cdot 2 = -8\). Проверка: уравнение \(x^2 + 2x - 8 = 0\) имеет корни \(-4\) и \(2\), и \((-4)^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12\).
Ответ
q = −8
Почему так
Разность квадратов раскладывается на множители, а сумма корней известна по теореме Виета.
Подробнее — в теме «Теорема Виета».