Задача 1
Условие (кратко)
Сумма квадратов корней уравнения x² − 3x + a = 0 равна 65. Найти a.
Решение
Дано
- \(x^2 - 3x + a = 0\)
- \(x_1^2 + x_2^2 = 65\)
Найти
- \(a\)
По теореме Виета \(x_1 + x_2 = 3\), \(x_1 x_2 = a\). Выразим сумму квадратов через сумму и произведение:
\[x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 9 - 2a.\]
\(9 - 2a = 65\), \(-2a = 56\), \(a = -28\).
Корни при этом есть: \(D = 9 + 112 = 121 > 0\), это \(7\) и \(-4\), и \(49 + 16 = 65\).
Ответ
a = −28
Почему так
Сумма квадратов корней выражается через коэффициенты: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂.
Подробнее — в теме «Теорема Виета».