Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, § 23, упражнение 591

Задача 1

Условие (кратко)

а) (Для работы в парах.) Не решая уравнения x² + 7x − 1 = 0, выяснить, имеет ли оно корни, и если имеет, определить их знаки.

Решение

Знаки корней определяем по теореме Виета: если $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} < 0$ , корни разных знаков; если $$x_1 x_2 > 0$$ , корни одного знака — того же, что их сумма $-\dfrac{b}{a}$ . Но сначала нужно убедиться, что корни есть.

$$D = 49 + 4 = 53 > 0$$ — корни есть. $$x_1 x_2 = -1 < 0$$ — корни разных знаков (сумма $$-7$$ отрицательна, поэтому больший по модулю корень отрицателен).

Ответ

Два корня разных знаков

Почему так

Знаки корней определяются по знакам их произведения c/a и суммы −b/a (теорема Виета), если D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 2

Условие (кратко)

б) (Для работы в парах.) Не решая уравнения x² − 7x + 1 = 0, выяснить, имеет ли оно корни, и если имеет, определить их знаки.

Решение

Знаки корней определяем по теореме Виета: если $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} < 0$ , корни разных знаков; если $$x_1 x_2 > 0$$ , корни одного знака — того же, что их сумма $-\dfrac{b}{a}$ . Но сначала нужно убедиться, что корни есть.

$$D = 49 - 4 = 45 > 0$$ — корни есть. $$x_1 x_2 = 1 > 0$$ — одного знака; $$x_1 + x_2 = 7 > 0$$ — оба положительны.

Ответ

Два положительных корня

Почему так

Знаки корней определяются по знакам их произведения c/a и суммы −b/a (теорема Виета), если D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 3

Условие (кратко)

в) (Для работы в парах.) Не решая уравнения 5x² + 17x + 16 = 0, выяснить, имеет ли оно корни, и если имеет, определить их знаки.

Решение

Знаки корней определяем по теореме Виета: если $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} < 0$ , корни разных знаков; если $$x_1 x_2 > 0$$ , корни одного знака — того же, что их сумма $-\dfrac{b}{a}$ . Но сначала нужно убедиться, что корни есть.

$D = 17^2 - 4 \cdot 5 \cdot 16 = 289 - 320 = -31 < 0$ — корней нет, теорему Виета применять нельзя.

Ответ

Корней нет

Почему так

Знаки корней определяются по знакам их произведения c/a и суммы −b/a (теорема Виета), если D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 4

Условие (кратко)

г) (Для работы в парах.) Не решая уравнения 19x² − 23x + 5 = 0, выяснить, имеет ли оно корни, и если имеет, определить их знаки.

Решение

Знаки корней определяем по теореме Виета: если $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} < 0$ , корни разных знаков; если $$x_1 x_2 > 0$$ , корни одного знака — того же, что их сумма $-\dfrac{b}{a}$ . Но сначала нужно убедиться, что корни есть.

$D = 23^2 - 4 \cdot 19 \cdot 5 = 529 - 380 = 149 > 0$ — корни есть. $x_1 x_2 = \dfrac{5}{19} > 0$ , $x_1 + x_2 = \dfrac{23}{19} > 0$ — оба корня положительны.

Ответ

Два положительных корня

Почему так

Знаки корней определяются по знакам их произведения c/a и суммы −b/a (теорема Виета), если D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 5

Условие (кратко)

д) (Для работы в парах.) Не решая уравнения 2x² + 5√3·x + 11 = 0, выяснить, имеет ли оно корни, и если имеет, определить их знаки.

Решение

Знаки корней определяем по теореме Виета: если $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} < 0$ , корни разных знаков; если $$x_1 x_2 > 0$$ , корни одного знака — того же, что их сумма $-\dfrac{b}{a}$ . Но сначала нужно убедиться, что корни есть.

$D = (5\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 75 - 88 = -13 < 0$ — корней нет.

Ответ

Корней нет

Почему так

Знаки корней определяются по знакам их произведения c/a и суммы −b/a (теорема Виета), если D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 6

Условие (кратко)

е) (Для работы в парах.) Не решая уравнения 11x² − 9x + 7 − 5√2 = 0, выяснить, имеет ли оно корни, и если имеет, определить их знаки.

Решение

Знаки корней определяем по теореме Виета: если $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} < 0$ , корни разных знаков; если $$x_1 x_2 > 0$$ , корни одного знака — того же, что их сумма $-\dfrac{b}{a}$ . Но сначала нужно убедиться, что корни есть.

Свободный член $c = 7 - 5\sqrt{2}$ . Сравним $7 = \sqrt{49}$ и $5\sqrt{2} = \sqrt{50}$ : $\sqrt{49} < \sqrt{50}$ , значит, $$c < 0$$ .

Тогда $$ac < 0$$ , и $$D = b^2 - 4ac > 0$$ — корни есть. $x_1 x_2 = \dfrac{c}{11} < 0$ — корни разных знаков (сумма $\dfrac{9}{11} > 0$ , больший по модулю корень положителен).

Ответ

Два корня разных знаков

Почему так

Знаки корней определяются по знакам их произведения c/a и суммы −b/a (теорема Виета), если D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Упражнение 591 к § 23

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки