Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 23

Упражнение 592 к § 23

§ 23. Теорема Виета · тема: Теорема Виета

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что уравнение 3x² + 113x − 7 = 0 не может иметь корни одинаковых знаков.

Решение

Здесь $$a = 3 > 0$$ , $$c = -7 < 0$$ , поэтому $$ac < 0$$ и $$D = b^2 - 4ac > 0$$ : уравнение имеет два корня.

По теореме Виета $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = -\dfrac{7}{3} < 0$ . Произведение двух чисел одного знака положительно, а здесь оно отрицательно — значит, корни разных знаков.

Ответ

x₁x₂ = −7/3 < 0, корни разных знаков

Почему так

Если a и c разных знаков, то D > 0 и произведение корней c/a отрицательно — корни разных знаков.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать, что уравнение 5x² − 291x − 16 = 0 не может иметь корни одинаковых знаков.

Решение

Здесь $$a = 5 > 0$$ , $$c = -16 < 0$$ , поэтому $$ac < 0$$ и $$D > 0$$ : корни есть.

По теореме Виета $x_1 x_2 = -\dfrac{16}{5} < 0$ — корни разных знаков, одинаковых знаков у них быть не может.