Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 23

Упражнение 593 к § 23

§ 23. Теорема Виета · тема: Теорема Виета

Задача 1

Условие (кратко)

а) (Для работы в парах.) Уравнение x² + 5x + m = 0 имеет корни x₁ и x₂. При каком m сумма квадратов корней равна 35?

Решение

По теореме Виета $$x_1 + x_2 = -5$$ , $$x_1 x_2 = m$$ .

\[x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 25 - 2m.\]

$$25 - 2m = 35$$ , $$m = -5$$ .

Проверяем, что корни существуют: при $$m = -5$$ получаем $$D = 25 + 20 = 45 > 0$$ .

Ответ

m = −5

Почему так

Сумма квадратов корней равна (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ — её выражают через коэффициенты по теореме Виета.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 2

Условие (кратко)

б) (Для работы в парах.) Уравнение x² + 5x + m = 0 имеет корни x₁ и x₂. При каком m сумма кубов корней равна 40?

Решение

По теореме Виета $$x_1 + x_2 = -5$$ , $$x_1 x_2 = m$$ . Сумма кубов:

\[x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2 (x_1 + x_2) = -125 + 15m.\]

$$-125 + 15m = 40$$ , $$15m = 165$$ , $$m = 11$$ .

Но теорема Виета верна только для уравнения, у которого есть корни. При $$m = 11$$ дискриминант $$D = 25 - 44 = -19 < 0$$ — корней нет. Значит, условие задачи не выполняется ни при каком $$m$$ .

Ответ

Такого значения m нет (при m = 11 уравнение не имеет корней)

Почему так

Найденное по теореме Виета значение параметра обязательно проверяют условием D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки