Задача 1
Условие (кратко)
Какие из чисел −2, −1, 0, 2, 3 являются корнями многочлена x³ − 3x² − 4x + 12?
Решение
Подставим каждое число в \(P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\).
\(P(-2) = -8 - 12 + 8 + 12 = 0\);
\(P(-1) = -1 - 3 + 4 + 12 = 12\);
\(P(0) = 12\);
\(P(2) = 8 - 12 - 8 + 12 = 0\);
\(P(3) = 27 - 27 - 12 + 12 = 0\).
Корни — числа, при которых многочлен равен нулю: \(-2\), \(2\) и \(3\).
Проверка разложением: \(x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = x^2(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 3)(x - 2)(x + 2)\).
Ответ
−2; 2; 3
Почему так
Число — корень многочлена, если значение многочлена при этом числе равно нулю.
Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».