Задача 1
Условие (кратко)
Сумма коэффициентов квадратного трёхчлена равна нулю, а свободный член в 4 раза больше старшего коэффициента. Найти корни трёхчлена.
Решение
Дано
- \(ax^2 + bx + c\)
- \(a + b + c = 0\)
- \(c = 4a\)
- \(a \ne 0\)
Найти
- корни
Тогда \(b = -a - c = -a - 4a = -5a\), и трёхчлен равен \(ax^2 - 5ax + 4a = a(x^2 - 5x + 4)\).
\(x^2 - 5x + 4 = 0\), \(D = 25 - 16 = 9\), \(x = \dfrac{5 \pm 3}{2}\), \(x_1 = 1\), \(x_2 = 4\).
Можно и короче: при \(x = 1\) значение трёхчлена равно \(a + b + c = 0\), значит, 1 — корень; по теореме Виета \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 4\), поэтому второй корень 4.
Ответ
1; 4
Почему так
Если сумма коэффициентов равна нулю, один корень равен 1, а второй равен \(\dfrac{c}{a}\).
Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».