Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 24

Упражнение 609 к § 24

§ 24. Квадратный трёхчлен и его корни · тема: Квадратный трёхчлен и его корни

Задача 1

Условие (кратко)

а) Работа в парах. Доказать, что при любом x трёхчлен x² − 6x + 10 принимает положительное значение.

Решение

Выделим квадрат двучлена: $$x^2 - 6x + 10 = x^2 - 6x + 9 + 1 = (x - 3)^2 + 1$$ .

$(x - 3)^2 \ge 0$ при любом $$x$$ , значит, $(x - 3)^2 + 1 \ge 1 > 0$ .

Ответ

x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1 ≥ 1 > 0

Почему так

После выделения квадрата видно, что к неотрицательному квадрату прибавляется положительное число.

Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Работа в парах. Доказать, что при любом x трёхчлен 5x² − 10x + 5 принимает неотрицательное значение.

Решение

$$5x^2 - 10x + 5 = 5(x^2 - 2x + 1) = 5(x - 1)^2$$ .

$(x - 1)^2 \ge 0$ , поэтому $5(x - 1)^2 \ge 0$ при любом $$x$$ (нулю равно при $$x = 1$$ ).

Ответ

5x² − 10x + 5 = 5(x − 1)² ≥ 0

Почему так

Произведение положительного числа и квадрата неотрицательно.

Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Работа в парах. Доказать, что при любом x трёхчлен −x² + 20x − 100 принимает неположительное значение.

Решение

$$-x^2 + 20x - 100 = -(x^2 - 20x + 100) = -(x - 10)^2$$ .

$(x - 10)^2 \ge 0$ , поэтому $-(x - 10)^2 \le 0$ при любом $$x$$ .

Ответ

−x² + 20x − 100 = −(x − 10)² ≤ 0

Почему так

Число, противоположное квадрату, не больше нуля.

Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Работа в парах. Доказать, что при любом x трёхчлен −2x² + 16x − 33 принимает отрицательное значение.

Решение

$$-2x^2 + 16x - 33 = -2(x^2 - 8x + 16) + 32 - 33 = -2(x - 4)^2 - 1$$ .

$-2(x - 4)^2 \le 0$ , поэтому $-2(x - 4)^2 - 1 \le -1 < 0$ при любом $$x$$ .

Ответ

−2x² + 16x − 33 = −2(x − 4)² − 1 ≤ −1 < 0

Почему так

Неположительное слагаемое плюс отрицательное число дают отрицательную сумму.

Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Работа в парах. Доказать, что при любом x трёхчлен x² − 0,32x + 0,0256 принимает неотрицательное значение.

Решение

$0{,}32x = 2 \cdot 0{,}16 \cdot x$ , а $0{,}16^2 = 0{,}0256$ .

$x^2 - 0{,}32x + 0{,}0256 = (x - 0{,}16)^2 \ge 0$ при любом $$x$$ .

Ответ

x² − 0,32x + 0,0256 = (x − 0,16)² ≥ 0

Почему так

Трёхчлен оказался полным квадратом разности, а квадрат неотрицателен.

Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Работа в парах. Доказать, что при любом x трёхчлен 4x² + 0,8x + 2 принимает положительное значение.

Решение

$4x^2 + 0{,}8x + 2 = 4(x^2 + 0{,}2x) + 2 = 4(x^2 + 0{,}2x + 0{,}01) - 0{,}04 + 2 = 4(x + 0{,}1)^2 + 1{,}96$ .

$4(x + 0{,}1)^2 \ge 0$ , значит, $4(x + 0{,}1)^2 + 1{,}96 \ge 1{,}96 > 0$ .

Ответ

4x² + 0,8x + 2 = 4(x + 0,1)² + 1,96 > 0

Почему так

После выделения квадрата к неотрицательному слагаемому прибавляется положительное число.

Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки