Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что трёхчлен x² − 6x + 11 не принимает отрицательных значений, а трёхчлен −x² + 6x − 11 — положительных.
Решение
\(x^2 - 6x + 11 = x^2 - 6x + 9 + 2 = (x - 3)^2 + 2 \ge 2\), то есть первый трёхчлен всегда не меньше 2 и отрицательным быть не может.
Второй трёхчлен противоположен первому: \(-x^2 + 6x - 11 = -\bigl((x - 3)^2 + 2\bigr) = -(x - 3)^2 - 2 \le -2\), поэтому положительных значений он не принимает.
Ответ
x² − 6x + 11 = (x − 3)² + 2 ≥ 2; −x² + 6x − 11 = −(x − 3)² − 2 ≤ −2
Почему так
Выделение квадрата двучлена показывает границу значений трёхчлена.
Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».