Задача 1
Задача-исследование. Какой из прямоугольных треугольников с суммой катетов 6 см имеет наибольшую площадь? Вычислить эту площадь.
Решение
- прямоугольный треугольник
- сумма катетов 6 см
- катеты
- при которых площадь наибольшая
- и эту площадь
-
Пусть один катет равен \(x\) см, тогда другой равен \(6 - x\) см, \(0 < x < 6\). Площадь \(S = \dfrac{1}{2}x(6 - x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 3x\) (см²).
-
Выделим квадрат двучлена: \(-\dfrac{1}{2}x^2 + 3x = -\dfrac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) + 4{,}5 = -\dfrac{1}{2}(x - 3)^2 + 4{,}5\).
Слагаемое \(-\dfrac{1}{2}(x - 3)^2 \le 0\) и равно нулю только при \(x = 3\), поэтому \(S\) наибольшая при \(x = 3\).
- Тогда второй катет \(6 - 3 = 3\) см, площадь \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4{,}5\) см².
Наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами по 3 см.
Ответ
Площадь — квадратный трёхчлен с отрицательным старшим коэффициентом, его наибольшее значение находят выделением квадрата.
Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».