Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 25

Упражнение 617 к § 25

§ 25. Разложение квадратного трёхчлена на множители · тема: Разложение квадратного трёхчлена на множители

Задача 1

Условие (кратко)

а) Разложить на множители: 3x² − 24x + 21.

Решение

Вынесем старший коэффициент: $$3x^2 - 24x + 21 = 3(x^2 - 8x + 7)$$ .

Корни трёхчлена $$x^2 - 8x + 7$$ найдём по теореме, обратной теореме Виета: сумма корней $$8$$ , произведение $$7$$ , значит, $$x_1 = 1$$ , $$x_2 = 7$$ .

$$3x^2 - 24x + 21 = 3(x - 1)(x - 7)$$ .

Ответ

3(x − 1)(x − 7)

Почему так

Трёхчлен с корнями x₁ и x₂ раскладывается так: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Разложить на множители: 5z² + 10z − 15.

Решение

$$5z^2 + 10z - 15 = 5(z^2 + 2z - 3)$$ .

Корни $$z^2 + 2z - 3$$ : сумма $$-2$$ , произведение $$-3$$ , значит, $$z_1 = 1$$ , $$z_2 = -3$$ .

$$5z^2 + 10z - 15 = 5(z - 1)(z + 3)$$ .

Ответ

5(z − 1)(z + 3)

Почему так

Трёхчлен с корнями x₁ и x₂ раскладывается так: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Разложить на множители: (1/6)x² + (1/2)x + 1/3.

Решение

Вынесем старший коэффициент $\dfrac{1}{6}$ : $\dfrac{1}{6}x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}(x^2 + 3x + 2)$ .

Корни $$x^2 + 3x + 2$$ : сумма $$-3$$ , произведение $$2$$ , значит, $$x_1 = -1$$ , $$x_2 = -2$$ .

$\dfrac{1}{6}x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}(x + 1)(x + 2)$ .

Ответ

(1/6)(x + 1)(x + 2)

Почему так

Трёхчлен с корнями x₁ и x₂ раскладывается так: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Разложить на множители: x² − 12x + 20.

Решение

Корни $$x^2 - 12x + 20$$ : сумма $$12$$ , произведение $$20$$ , значит, $$x_1 = 2$$ , $$x_2 = 10$$ .

Старший коэффициент равен 1: $$x^2 - 12x + 20 = (x - 2)(x - 10)$$ .

Ответ

(x − 2)(x − 10)

Почему так

Трёхчлен с корнями x₁ и x₂ раскладывается так: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Разложить на множители: −y² + 16y − 15.

Решение

$$-y^2 + 16y - 15 = -(y^2 - 16y + 15)$$ .

Корни $$y^2 - 16y + 15$$ : сумма $$16$$ , произведение $$15$$ , значит, $$y_1 = 1$$ , $$y_2 = 15$$ .

$$-y^2 + 16y - 15 = -(y - 1)(y - 15) = (1 - y)(y - 15)$$ — минус внесли в первую скобку.

Ответ

−(y − 1)(y − 15) = (1 − y)(y − 15)

Почему так

Трёхчлен с корнями x₁ и x₂ раскладывается так: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Разложить на множители: −t² − 8t + 9.

Решение

$$-t^2 - 8t + 9 = -(t^2 + 8t - 9)$$ .

Корни $$t^2 + 8t - 9$$ : сумма $$-8$$ , произведение $$-9$$ , значит, $$t_1 = 1$$ , $$t_2 = -9$$ .

$$-t^2 - 8t + 9 = -(t - 1)(t + 9) = (1 - t)(t + 9)$$ .

Ответ

−(t − 1)(t + 9) = (1 − t)(t + 9)

Почему так

Трёхчлен с корнями x₁ и x₂ раскладывается так: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Разложить на множители: 2x² − 5x + 3.

Решение

Решим уравнение $$2x^2 - 5x + 3 = 0$$ : $$D = 25 - 24 = 1$$ , $x = \dfrac{5 \pm 1}{4}$ , $x_1 = \dfrac{3}{2}$ , $$x_2 = 1$$ .

$2x^2 - 5x + 3 = 2\left(x - \dfrac{3}{2}\right)(x - 1) = (2x - 3)(x - 1)$ — двойку умножили на первую скобку.

Ответ

(x − 1)(2x − 3)

Почему так

Трёхчлен с корнями x₁ и x₂ раскладывается так: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Разложить на множители: 5y² + 2y − 3.

Решение

$$5y^2 + 2y - 3 = 0$$ : $$D = 4 + 60 = 64$$ , $y = \dfrac{-2 \pm 8}{10}$ , $y_1 = \dfrac{3}{5}$ , $$y_2 = -1$$ .

$5y^2 + 2y - 3 = 5\left(y - \dfrac{3}{5}\right)(y + 1) = (5y - 3)(y + 1)$ .

Ответ

(5y − 3)(y + 1)

Почему так

Трёхчлен с корнями x₁ и x₂ раскладывается так: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 9

Условие (кратко)

и) Разложить на множители: −2n² + 5n + 7.

Решение

$$-2n^2 + 5n + 7 = 0$$ , или $$2n^2 - 5n - 7 = 0$$ : $$D = 25 + 56 = 81$$ , $n = \dfrac{5 \pm 9}{4}$ , $n_1 = \dfrac{7}{2}$ , $$n_2 = -1$$ .

$-2n^2 + 5n + 7 = -2\left(n - \dfrac{7}{2}\right)(n + 1) = -(2n - 7)(n + 1) = (7 - 2n)(n + 1)$ .

Ответ

−(2n − 7)(n + 1) = (7 − 2n)(n + 1)

Почему так

Трёхчлен с корнями x₁ и x₂ раскладывается так: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Похожие задачи для тренировки