Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 25

Упражнение 618 к § 25

§ 25. Разложение квадратного трёхчлена на множители · тема: Разложение квадратного трёхчлена на множители

Задача 1

Условие (кратко)

а) Разложить на множители: 2x² − 2x + 1/2.

Решение

$2x^2 - 2x + \dfrac{1}{2} = 0$ : $D = 4 - 4 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 0$ , корень один (два равных): $x_1 = x_2 = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ .

$2x^2 - 2x + \dfrac{1}{2} = 2\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2$ .

Ответ

2(x − 1/2)²

Почему так

При D = 0 у трёхчлена два равных корня x₁ = x₂, поэтому ax² + bx + c = a(x − x₁)².

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Разложить на множители: −9x² + 12x − 4.

Решение

$$-9x^2 + 12x - 4 = 0$$ : $$D = 144 - 144 = 0$$ , $x_1 = x_2 = \dfrac{-12}{-18} = \dfrac{2}{3}$ .

$-9x^2 + 12x - 4 = -9\left(x - \dfrac{2}{3}\right)^2 = -\left(3\left(x - \dfrac{2}{3}\right)\right)^2 = -(3x - 2)^2$ .

Ответ

−(3x − 2)²

Почему так

При D = 0 у трёхчлена два равных корня x₁ = x₂, поэтому ax² + bx + c = a(x − x₁)².

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Разложить на множители: 16a² + 24a + 9.

Решение

$$16a^2 + 24a + 9 = 0$$ : $$D = 576 - 576 = 0$$ , $a_1 = a_2 = -\dfrac{24}{32} = -\dfrac{3}{4}$ .

$16a^2 + 24a + 9 = 16\left(a + \dfrac{3}{4}\right)^2 = (4a + 3)^2$ .

Ответ

(4a + 3)²

Почему так

При D = 0 у трёхчлена два равных корня x₁ = x₂, поэтому ax² + bx + c = a(x − x₁)².

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Разложить на множители: 0,25m² − 2m + 4.

Решение

$0{,}25m^2 - 2m + 4 = 0$ : $D = 4 - 4 \cdot 0{,}25 \cdot 4 = 0$ , $m_1 = m_2 = \dfrac{2}{0{,}5} = 4$ .

$0{,}25m^2 - 2m + 4 = 0{,}25(m - 4)^2 = (0{,}5(m - 4))^2 = (0{,}5m - 2)^2$ .

Ответ

(0,5m − 2)²

Почему так

При D = 0 у трёхчлена два равных корня x₁ = x₂, поэтому ax² + bx + c = a(x − x₁)².

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки