Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 25

Упражнение 621 к § 25

§ 25. Разложение квадратного трёхчлена на множители · тема: Разложение квадратного трёхчлена на множители

Задача 1

Условие (кратко)

а) Можно ли представить в виде произведения многочленов первой степени −3y² + 3y + 11?

Решение

Трёхчлен раскладывается на множители первой степени, только если у него есть корни.

$D = 3^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 11 = 9 + 132 = 141 > 0$ — два корня, значит, можно.

Ответ

Можно: D = 141 > 0

Почему так

Разложение на множители первой степени возможно тогда и только тогда, когда у трёхчлена есть корни, т. е. D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Можно ли представить в виде произведения многочленов первой степени 4b² − 9b + 7?

Решение

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 81 - 112 = -31 < 0$ — корней нет.

Трёхчлен без корней нельзя разложить на множители первой степени: если бы $$4b^2 - 9b + 7 = (kb + m)(pb + q)$$ , то числа $-\dfrac{m}{k}$ и $-\dfrac{q}{p}$ были бы его корнями.

Ответ

Нельзя: D = −31 < 0

Почему так

Разложение на множители первой степени возможно тогда и только тогда, когда у трёхчлена есть корни, т. е. D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Можно ли представить в виде произведения многочленов первой степени x² − 7x + 11?

Решение

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 49 - 44 = 5 > 0$ — корни есть, значит, можно:

$x_{1,2} = \dfrac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$ , $x^2 - 7x + 11 = \left(x - \dfrac{7 - \sqrt{5}}{2}\right)\left(x - \dfrac{7 + \sqrt{5}}{2}\right)$ .

Ответ

Можно: D = 5 > 0

Почему так

Разложение на множители первой степени возможно тогда и только тогда, когда у трёхчлена есть корни, т. е. D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Можно ли представить в виде произведения многочленов первой степени 3y² − 12y + 12?

Решение

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 144 - 144 = 0$ — два равных корня $$y_1 = y_2 = 2$$ , значит, можно:

$$3y^2 - 12y + 12 = 3(y - 2)^2 = 3(y - 2)(y - 2)$$ .

Ответ

Можно: D = 0, 3y² − 12y + 12 = 3(y − 2)²

Почему так

Разложение на множители первой степени возможно тогда и только тогда, когда у трёхчлена есть корни, т. е. D ≥ 0.

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки